导数

教材原文

如果当 $\Delta x\to 0$ 时，平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 无限趋近于一个确定的值，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 有极限，则称 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处可导，并把这个确定的值叫做 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数（derivative）（也称为瞬时变化率），记作 $f^{\prime}(x_0)$ 或 $y^{\prime}|_{x = x_0}$，即

$f ^ {\prime} (x _ {0}) = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{\Delta x} = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x}.$

定义

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数是平均变化率的极限

刻画函数在该点的瞬时变化率。

要点

• 导函数 $f'(x)$ 由各点导数组成；求导有幂、指、对、三角等基本公式与四则、链式法则。
• $f'(x_0)$ 的几何意义是曲线在 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。