浙江 2025 · 数学 q16

这道题的两问是一根链

假设你会等差数列的定义、会用求导公式（就是 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 那一条），别的都不用——只有解法二多要一条：它要对一个分式求导，得用商的求导法则 $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$。到那一步正文会把 $u,v,u',v'$ 四个都列出来，照着代就行。

题目给的是一个带分母的递推式；第 (1) 问要你证 $\{na_n\}$ 是等差数列，第 (2) 问把 $a_1,a_2,\dots,a_m$ 当成一个多项式的系数，求 $f'(-2)$。

两问不是并列的小题，是一根链：第 (1) 问算出来的 $na_n$，恰好就是第 (2) 问求导之后冒出来的那个系数。所以下面先把 (1) 做掉、再把 $f'(x)$ 写成一个「能求和」的样子（这两段两条路共用），最后分两条路去算那个和。

第一步（两条路共用）：去分母，等差就露出来了

条件长这样：

$$a_1=3,\qquad \frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$$

三个分母 $n$、$n+1$、$n(n+1)$ 摆在那儿，几乎是在喊「把我清掉」。见到分母就两边同乘公分母——这里公分母正是 $n(n+1)$。三项各乘一次：

$$\frac{a_{n+1}}{n}\cdot n(n+1)=(n+1)a_{n+1},\qquad \frac{a_n}{n+1}\cdot n(n+1)=na_n,\qquad \frac{1}{n(n+1)}\cdot n(n+1)=1$$

于是那个吓人的递推变成干干净净的一句话：

$$(n+1)a_{n+1}=na_n+1$$

为什么写到这里第 (1) 问就做完了。 等差数列的判定只有一句话：相邻两项之差是同一个常数。而上式左边是「第 $n+1$ 项乘它的下标」、右边是「第 $n$ 项乘它的下标，再加 1」——出现的正好就是题目要你看的那个数列。令

$$b_n=na_n$$

这一步就是构造辅助数列：不直接研究 $a_n$，而是研究由它拼出来的新数列。代进去，上式就是

$$b_{n+1}=b_n+1,\qquad\text{即}\qquad b_{n+1}-b_n=1$$

差恒等于 $1$，是常数，所以 $\{na_n\}$ 是公差为 $1$ 的等差数列；首项是 $b_1=1\cdot a_1=3$。第 (1) 问答完。

顺手把通项写出来（第 (2) 问要用）。由等差数列通项公式：

$$na_n=3+(n-1)\cdot 1=n+2,\qquad\text{即}\qquad a_n=1+\frac{2}{n}$$

这个式子一格一格往上走（$n=1,2,3,\dots$ 依次给 $3,4,5,\dots$），就是「公差为 $1$ 的等差数列」的样子；注意走的是 $na_n$，不是 $a_n$——$a_n=1+\dfrac{2}{n}$ 本身并不等差。

第二步（两条路共用）：把 $f'(x)$ 写出来，看清要算的是哪个和

$f(x)=a_1x+a_2x^2+\cdots+a_mx^m$ 是个多项式，系数就是数列的项。求导用常见函数的导数里的 $(x^n)'=nx^{n-1}$，逐项来：

$$f'(x)=\sum_{n=1}^{m}na_n\,x^{n-1}$$

枢纽在这里：求导恰好把每个系数 $a_n$ 乘上了它的下标 $n$，而 $na_n$ 正是第 (1) 问算出来的 $n+2$。于是那一堆分数系数 $1+\frac{2}{n}$ 全部消失，换成整齐的 $n+2$：

$$f'(x)=\sum_{n=1}^{m}(n+2)x^{n-1}=3+4x+5x^{2}+\cdots+(m+2)x^{m-1}$$

代 $x=-2$，要算的就是这个和：

$$f'(-2)=\sum_{n=1}^{m}(n+2)(-2)^{n-1}=3+4(-2)+5(-2)^{2}+\cdots+(m+2)(-2)^{m-1}$$

它不能靠观察猜。 $m=1$ 时是 $3$，$m=2$ 时是 $-5$，$m=3$ 时是 $15$——因为 $(-2)^{n-1}$ 一正一负地翻，前几项跳得毫无规律。所以必须先推一般式，再落到数上。一般式有两种写法：推关于一般的 $x$ 的（解法二必须走这条，理由见那一节），或者先把 $x=-2$ 代进去、直接推关于 $m$ 的（解法一两种都走得通）。

下面两条路都在算这一个和，推进方式完全不同：一条纯代数地把和「压缩」掉，一条把和认成某个已知闭形式的导函数。

解法一：错位相减

怎么想到的。 看清每一项的结构：$(n+2)x^{n-1}$ 是两个因子相乘，$(n+2)$ 随 $n$ 等差地走（相邻差恒为 $1$），$x^{n-1}$ 随 $n$ 等比地走（相邻比恒为 $x$）。

纯等比数列的和我们会求，而它的求和公式本身就是这么推出来的：乘一次公比再作差，两行错开一格，相同的项成片抵消。这里的项只多了一个等差因子——那就照抄这个动作：乘一次 $x$、再作差。作差之后等差因子的差被磨成常数 $1$，剩下的东西就退化成一个纯等比数列的和，于是会做了。这就是「错位相减」。

动手。 把 $f'(x)$ 与 $x f'(x)$ 上下写开：

$$f'(x)=3+4x+5x^{2}+\cdots+(m+2)x^{m-1}$$ $$x f'(x)=3x+4x^{2}+5x^{3}+\cdots+(m+2)x^{m}$$

上式减下式。同次幂的项配对相减，系数差都是 $1$（$4-3=1$、$5-4=1$、……）：

$$(1-x)f'(x)=3+\underbrace{x+x^{2}+\cdots+x^{m-1}}_{\text{纯等比，}m-1\text{ 项}}-(m+2)x^{m}$$

中间那块就用等比数列前n项和的公式：首项 $x$、公比 $x$、共 $m-1$ 项（要求 $x\neq1$）：

$$x+x^{2}+\cdots+x^{m-1}=\frac{x\left(1-x^{m-1}\right)}{1-x}$$

两边同除 $1-x$，得到一般式（$x\neq1$）：

$$f'(x)=\frac{3}{1-x}+\frac{x\left(1-x^{m-1}\right)}{(1-x)^{2}}-\frac{(m+2)x^{m}}{1-x}$$

代 $x=-2$。 此时 $1-x=3$、$(1-x)^2=9$，且 $-2\neq1$，公式可用：

$$f'(-2)=\frac{3}{3}+\frac{(-2)\left[1-(-2)^{m-1}\right]}{9}-\frac{(m+2)(-2)^{m}}{3}$$

第二项里 $(-2)\cdot\left[1-(-2)^{m-1}\right]=-2+2(-2)^{m-1}$，而 $2(-2)^{m-1}=-(-2)\cdot(-2)^{m-1}=-(-2)^{m}$，所以第二项是 $\dfrac{-2-(-2)^{m}}{9}$；第三项通分成 $\dfrac{(3m+6)(-2)^{m}}{9}$。三项合起来：

$$f'(-2)=\frac{9-2-(-2)^{m}-(3m+6)(-2)^{m}}{9}=\frac{7-(3m+7)(-2)^{m}}{9}$$

$m=1$ 要不要单独说一句。 要，而且结论是「不用」：$m=1$ 时中间那块 $x+\cdots+x^{m-1}$ 一项都没有（空和，值为 $0$），而公式 $\dfrac{x\left(1-x^{0}\right)}{1-x}$ 也正好给 $0$——一般式对 $m=1$ 照样成立。代进去 $\dfrac{7-10\cdot(-2)}{9}=3$，与 $f(x)=3x$、$f'(x)=3$ 一致。

这条路一张图收得住。 下图把三行按同一个幂次一列摆开：第一行 $f'(x)$、第二行 $xf'(x)$ 整体右移一格（这就是「错位」），第三行是它们的差；绿底那一段就是作差之后剩下的纯等比块 $x+x^2+\cdots+x^{m-1}$（$m-1$ 项）。作差之后除以 $1-x$ 得一般式、代 $x=-2$、按定义抽查前几项，上面已经一步步写全，图不重复。

解法二：对等比和求导

怎么想到的。 回头盯住 $f'(x)=\sum_{n=1}^{m}(n+2)x^{n-1}$ 里那个碍事的系数 $n+2$：系数里带着 $n$，和就不好求。

但「系数里带 $n$」恰恰是求导掉出来的东西——$(x^{n})'=nx^{n-1}$。把这条公式反过来读：$nx^{n-1}$ 根本不必另外求和，它就是 $x^{n}$ 的导函数。所以把系数按 $n+2$ 的两块拆开：

$$f'(x)=\underbrace{\sum_{n=1}^{m}nx^{n-1}}_{\text{它是}\ \sum x^{n}\ \text{的导函数}}\;+\;2\underbrace{\sum_{n=1}^{m}x^{n-1}}_{\text{纯等比的和}}$$

第二块是等比数列的和，闭形式现成；第一块的求和不做——先把 $\sum x^{n}$ 的闭形式写出来，再对它求一次导。这条路把「求和」的力气换成了「求导」的力气，一次错位相减都不用。

所以这条路全程得留着一般的 $x$：还要对闭形式求一次导，一上来就把 $x=-2$ 代进去，手里剩的是一个常数，没有东西可导了。代值只能是最后一步。

第二块（不带 $n$ 的）。 首项 $1$、公比 $x$、共 $m$ 项：

$$h(x)=\sum_{n=1}^{m}x^{n-1}=\frac{1-x^{m}}{1-x}\ (x\neq1), \qquad h(-2)=\frac{1-(-2)^{m}}{3}$$

第一块（带 $n$ 的）。 令

$$g(x)=\sum_{n=1}^{m}x^{n}=\frac{x\left(1-x^{m}\right)}{1-x}=\frac{x-x^{m+1}}{1-x}\ (x\neq1)$$

对左边那个多项式逐项求导，得到的正是第一块：$g'(x)=\sum_{n=1}^{m}nx^{n-1}$。

这里有一句必须交代清楚的话。 等号左边是个多项式、右边是个分式，它们在所有 $x\neq1$ 处取值都相同——那就是同一个函数的两种写法，而同一个函数只有一个导函数。所以「左边逐项求导」的结果与「右边按分式求导」的结果，在 $x\neq1$ 上处处相等。这不是「把等式两边求导」的什么魔法，就是同一函数、两个表达式。

对分式求导。 分子 $u=x-x^{m+1}$，$u'=1-(m+1)x^{m}$；分母 $v=1-x$，$v'=-1$。按商的求导法则：

$$g'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{\left[1-(m+1)x^{m}\right](1-x)+\left(x-x^{m+1}\right)}{(1-x)^{2}}$$

分子展开、合并（$-x$ 与 $+x$ 抵消，$(m+1)x^{m+1}-x^{m+1}=mx^{m+1}$）：

$$g'(x)=\frac{1-(m+1)x^{m}+mx^{m+1}}{(1-x)^{2}}$$

代 $x=-2$。 $(1-x)^2=9$，而 $(-2)^{m+1}=-2\cdot(-2)^{m}$，所以 $m(-2)^{m+1}=-2m(-2)^{m}$：

$$g'(-2)=\frac{1-(m+1)(-2)^{m}-2m(-2)^{m}}{9}=\frac{1-(3m+1)(-2)^{m}}{9}$$

两块合起来。

$$f'(-2)=g'(-2)+2h(-2) =\frac{1-(3m+1)(-2)^{m}}{9}+\frac{6\left[1-(-2)^{m}\right]}{9} =\frac{7-(3m+7)(-2)^{m}}{9}$$

合流：同一个答案，再自己验一遍

两条路给出同一个式子：

$$f'(-2)=\frac{7}{9}-\frac{(3m+7)(-2)^{m}}{9}$$

结果含参数 $m$，一定要抽查前几项（按定义直接加，和一般式对表）：

• $m=1$：直接算 $3$；一般式 $\dfrac{7-10\cdot(-2)}{9}=\dfrac{27}{9}=3$。
• $m=2$：直接算 $3+4(-2)=-5$；一般式 $\dfrac{7-13\cdot 4}{9}=\dfrac{-45}{9}=-5$。
• $m=3$：直接算 $3+4(-2)+5\cdot 4=15$；一般式 $\dfrac{7-16\cdot(-8)}{9}=\dfrac{135}{9}=15$。

三个都对上，一般式可信。

这两条路差在哪。 解法一从头到尾在和式内部做代数：乘一次 $x$、减一次，等差因子被磨成常数，剩下纯等比的和。它不需要任何导数知识（求导只用在最开头把 $f'$ 写出来），所以换成「求 $\sum(n+2)\cdot2^{n-1}$」这种纯数列题，它一字不改照样能用。

解法二反过来：把和式认成一个已经会写的闭形式的导函数，力气花在「认出来」，剩下的只是一次分式求导。它的迁移方向不同——要算 $\sum n^{2}x^{n-1}$ 这类东西，再求一次导就到手，而解法一得错位相减两遍。

🕳️ 避坑

• 第 (1) 问的构造对象要认准题目给的 $\{na_n\}$，别自己另设别的组合——本题递推去分母之后凑出来的恰好是它。
• 去分母时三项各乘一次 $n(n+1)$，漏乘右边那个 $\dfrac{1}{n(n+1)}$ 就会得到 $(n+1)a_{n+1}=na_n$（公差 $0$），整题全错。
• $\{na_n\}$ 的首项是 $1\cdot a_1=3$、公差是 $1$。别顺手说成「$a_n$ 的首项是 3、公差是 1」——$a_n=1+\dfrac{2}{n}$ 本身不是等差数列。
• $f'(-2)$ 的结果含参数 $m$：它是关于 $m$ 的式子，不是一个数。别看前几项猜规律，一定要推一般式；另外注意解法二那条路必须保留一般的 $x$，先代 $-2$ 就没得求导了（解法一没有这个限制：直接对 $\sum_{n=1}^{m}(n+2)(-2)^{n-1}$ 乘 $-2$ 作差也走得通，中间那个等比和公比是 $-2\neq1$，公式照样能用）。
• 用等比数列的求和公式前要确认公比 $\neq1$。本题代的是 $x=-2$，安全；但一般式里那句 $x\neq1$ 不能省。
• 符号最容易翻车的两处：$(-2)^{m+1}=-2\cdot(-2)^{m}$（不是 $2\cdot(-2)^{m}$），$2\cdot(-2)^{m-1}=-(-2)^{m}$。
• 解法一里中间那段等比和是 $m-1$ 项（从 $x$ 到 $x^{m-1}$）、不是 $m$ 项；$m=1$ 时它是空和，得单独确认一般式仍然成立。