4.2 等差数列

数列这一章要研究的是”取值有规律”的数列，等差数列是第一个、也是最简单的一个： 从第 2 项起，每一项减去它的前一项，差都是同一个常数。 定义只有这一句，但它一路管到通项公式、等差中项、 下标和性质，以及后面一节的前 $n$ 项和公式。

课本按”发现顺序”讲——先摆四个实例，再归纳定义，再推通项公式，最后补等差中项与一条性质。 这里换成决策顺序：先把定义与通项公式立住，紧接着讲”等差数列其实是一次函数”这一个看法， 因为这一节后面所有的技巧（等差中项、下标和、插数）都是这个看法的推论。

一、定义：差为常数，且是”同一个”常数

如果数列 $\{a_n\}$ 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 $d$， 就说 $\{a_n\}$ 是等差数列，$d$ 叫做它的公差。写成式子就是

$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbf{N}^*),$

或者等价地 $a_n - a_{n-1} = d\ (n \geqslant 2)$。

定义里有三个字眼值得逐个抠：

• “从第 2 项起”——第 1 项没有前一项，它不参与这个条件，它是自由的起点；
• “每一项”——一处不合就不是等差数列。判定题里只核前两个差就下结论，是这一节最典型的错法 （见易错清单第 1 条）；
• “同一个常数”——差存在不够，差还得不随 $n$ 变。$1,\ 1.1,\ 1.11,\ 1.111,\dots$ 每一步都在 增加，差却是 $0.1,\ 0.01,\ 0.001,\dots$，一步比一步小，不是等差数列。

判定一个数列是不是等差数列，机械做法只有一条：把相邻两项的差逐个算出来，看它们是不是全相等。 差的正负、大小都不重要，重要的只有”一样不一样”。

二、通项公式：从递推到直接算

定义是递推的（要知道 $a_n$ 得先知道 $a_{n-1}$），实用的是通项公式（直接由 $n$ 算 $a_n$）。 推法就是把定义一层层叠上去：

到 $a_n$ 时一共加了 $n-1$ 次 $d$，于是

$a_n = a_1 + (n-1)d.$

课本在这里补了一句容易被跳过、但不能省的话：上面的归纳是从 $n \geqslant 2$ 得到的， 还要单独核一下 $n=1$——把 $n=1$ 代进去得 $a_1 + 0 \cdot d = a_1$，成立，所以公式对全部 $n \in \mathbf{N}^*$ 都用得。这种”归纳出来的式子回头验首项”的动作，后面一章还会反复出现。

公式里有 $a_1$、$d$、$n$、$a_n$ 四个量，知道其中任意三个就能求第四个。这一节的绝大多数题都是 这一句话的变形：给两项求公差、给通项求首项、给一个值问它是第几项——都是把已知代进去解一个方程。 本站把这条公式登记为「等差数列的通项公式」，页面下方的知识树里能看到它挂在「等差数列」下面。

只要给出任意两项，公差就定死了。 由 $a_m = a_1 + (m-1)d$ 与 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 相减得

$a_m - a_n = (m-n)d, \qquad\text{即}\qquad d = \frac{a_m - a_n}{m - n} \quad (m \neq n).$

这个式子比”先求 $a_1$ 再求 $d$“少一步，且形状就是两点间的斜率——这正是下一段要说的事。

三、一次函数的看法：这一节真正的主线

把通项公式整理一下：

$a_n = a_1 + (n-1)d = dn + (a_1 - d).$

右边是 $n$ 的一次式。也就是说，当 $d \neq 0$ 时，$a_n$ 恰好是一次函数 $f(x) = dx + (a_1 - d)$ 在 $x = n$ 处的函数值。于是：

• 等差数列的图象是一条直线上等间隔的一串孤立点 $(n,\ a_n)$——是点，不是线段，因为 $n$ 只取正整数；
• 公差 $d$ 就是那条直线的斜率。$d > 0$ 时数列递增，$d < 0$ 时递减，$d = 0$ 时是常数列；
• 反过来，任给一次函数 $f(x) = kx + b$，$f(1),\ f(2),\ \dots,\ f(n),\dots$ 一定构成公差为 $k$ 的等差数列。

这个看法能省掉很多计算。比如”求通过图象上所有点的直线的斜率”，不必真去求直线方程， 斜率就是公差；再比如判断 $\{a_n\}$ 是不是等差数列，只要看通项能不能写成 $pn + q$ 的形状 （$p$、$q$ 与 $n$ 无关），能就是，公差是 $p$。

四、等差中项：把”成等差数列”翻译成一个方程

三个数 $a$、$A$、$b$ 依次成等差数列，就说 $A$ 是 $a$ 与 $b$ 的等差中项。由定义 $A - a = b - A$ 立刻得到

$2A = a + b, \qquad\text{即}\qquad A = \frac{a+b}{2}.$

它的用处是双向的：

• 正着用——求两个数的等差中项，就是求它们的算术平均数；
• 反着用——题目说”某三项成等差数列”，就把它翻译成”中间那项的 2 倍等于两边之和”这一个方程。 反着用才是高考里的常见形态。

顺带一条常用的推论：在等差数列 $\{a_n\}$ 中，任取相邻的三项 $a_{n-1},\ a_n,\ a_{n+1}$， 必有 $2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$。这也是”等差”最短的一种判定写法。

五、下标和性质：$p+q=s+t \Rightarrow a_p+a_q=a_s+a_t$

设 $\{a_n\}$ 是等差数列，$p,\ q,\ s,\ t \in \mathbf{N}^*$ 且 $p+q = s+t$，则

$a_p + a_q = a_s + a_t.$

证明只用通项公式：两边都等于 $2a_1 + (p+q-2)d$ 与 $2a_1 + (s+t-2)d$，而 $p+q = s+t$。

读法：下标之和相等，则对应两项之和相等。特别地，当 $p + q = 2m$ 时得 $a_p + a_q = 2a_m$—— 这是等差中项的推广形式，也是这条性质在题里最常用的样子。例如已知 $a_4 + a_8 = 20$， 因为 $4 + 8 = 2 \times 6$，立刻有 $a_6 = 10$，一步跳过解方程组。

注意方向：这条性质是”下标和相等 $\Rightarrow$ 项和相等”，反过来一般不成立 （$d = 0$ 时所有项都相等，下标和不等的两对项和也相等）。做题时只往正方向用。

六、插数：插进去之后公差变成多少

“在 $a$ 和 $b$ 中间插入 $k$ 个数，使这 $k+2$ 个数成等差数列”——这类题只有一个动作： 数清插完之后一共跨了几个公差。插入 $k$ 个数后共有 $k+2$ 项，从第 1 项走到第 $k+2$ 项跨了 $k+1$ 步，所以新公差

$d' = \frac{b-a}{k+1}.$

同样的数法也用来处理”在原等差数列每相邻两项之间各插入 $k$ 个数”：原来的一个公差被切成 $k+1$ 段， 所以 $d' = \dfrac{d}{k+1}$；而原数列的第 $n$ 项在新数列里的位置是第 $(k+1)(n-1)+1$ 项， 这串下标本身又是一个公差为 $k+1$ 的等差数列。遇到”插数”先数步数，别急着写通项。

七、实际问题：把”逐年减少”读成公差

课本的设备折旧例题（第 21 页例 3）值得单独说，因为它示范了实际问题的固定套路：

1. 先认出等差——“每经过一年价值减少 $d$ 万元”就是 $a_n - a_{n-1} = -d$，公差是 $-d$（不是 $d$， 符号别丢）；
2. 写清 $a_1$ 是谁——设 $a_n$ 为使用 $n$ 年后的价值，则 $a_1 = 220 - d$，不是 $220$。 $220$ 是”使用 0 年”时的价值，把它当成首项，后面每一项都会错一格；
3. 把”使用年限为 10 年”翻译成不等式组——第 10 年末还没报废、第 11 年末已报废，即 $a_{10} \geqslant 11$ 且 $a_{11} < 11$，两个不等式缺一不可，只写一个会把答案做成一条射线。

第 3 步是这一类题的分水岭：临界条件要写成”这一年还行、下一年不行”的一对不等式， 而不是一句”大约十年”。

八、易错清单

按失分频率排：

1. 只核一两个差就判定等差。 定义要求”每一项”都合。$1,\ -2,\ 3,\ -4,\dots$ 的头两个差是 $-3$ 与 $5$，一算就露馅；但像 $1,\ 1.1,\ 1.11,\dots$ 这种越看越像的，非把所有差都算出来不可。
2. 通项公式里写成 $a_1 + nd$。 是 $(n-1)d$——从 $a_1$ 走到 $a_n$ 只跨了 $n-1$ 步。 核这一步最快的办法是代 $n=1$：结果必须回到 $a_1$。
3. 插数时把步数数错。 插 $k$ 个数是切成 $k+1$ 段，不是 $k$ 段。
4. 实际问题里首项取错。 “初始值”往往是第 0 项而不是第 1 项，先把 $a_1$ 是什么写在纸上。
5. 下标和性质反着用。 由 $a_p + a_q = a_s + a_t$ 推不出 $p+q=s+t$。
6. 公差的符号丢掉。 递减数列的 $d$ 是负数，“每年减少 $d$“对应的公差是 $-d$。
7. 求出的 $n$ 不是正整数还照抄。 “某个数是不是这个数列的项”这类题，解出 $n$ 之后必须核 $n \in \mathbf{N}^*$；解出 $n = 7.5$ 的正确答案是”不是它的项”。

九、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只给一个读的顺序：

• 先做 2023 年第 20 题：给两个条件求通项，再讨论一个整除条件——它是”四个量知三求一”最正统的 一道，把基本量法练熟；
• 再做 2023 年第 7 题：判断”$\{a_n\}$ 等差”与”前 $n$ 项和的均值成等差”互为什么条件。 它考的是定义本身（差为常数），而不是套公式，正好补上”会算但说不清”的那一块；
• 然后是 2025 年第 16 题：题目给的递推式不是等差，要先构造 $\{na_n\}$ 才等差。 这一步就是本节的第一句话——只要相邻两项的差是常数，那个新数列就是等差数列；
• 2022 年第 20 题与 2022 年第 10 题分别把等差数列接到等比（在等差数列里塞出等比三项） 与放缩估值上，看的是等差数列作为工具怎么被别的题借用；
• 最后是 2024 年第 19 题，这一节的上限：它整题都在数列上做构造与计数，等差只是其中一环。 做不动也没关系，先看懂第 (1) 问怎么把问题化归到一个标准区间上。

本节课本习题共 7 道：第 20 页「练习」5 道、第 22 页「练习」2 道。其中 6 道逐题全做， 不收的是第 20 页「练习」第 3 题——它的题面是一张表格，而表格在课本上是图、不在文字转写里， 题面引文引不全，本站的独立复核也就无靶可核（本站解答没有官方答案可比，逐题复核是唯一那道关； 见页面上那句声明）。要做这道题，请对着上方第 20 页的扫描图读表，方法与第 4 题、第 5 题同源： 表头是 $a_1,a_3,a_5,a_7$，相邻两栏之间跨的是 2 个公差。

本节没有「习题 4.2」——它排在 §4.2.2 那一节的末尾，归那一份详解。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 20 页）第 1 题

1. 判断下列数列是不是等差数列。如果是，写出它的公差。

(1) 95, 82, 69, 56, 43, 30;

(2) 1, 1.1, 1.11, 1.111, 1.1111, 1.11111;

(3) 1, -2, 3, -4, 5, -6;

(4) 1, $\frac{11}{12}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{7}{12}$ , $\frac{1}{2}$ .

判定只有一条路：把相邻两项的差逐个算出来，看它们是不是全相等。定义要求”每一项”都合， 所以四组都要算到底，不能只核头两个差。

(1) 依次作差：

5 个差全等于 $-13$，所以它是等差数列，公差 $d=-13$。

(2) 依次作差：

差是 $0.1,\ 0.01,\ 0.001,\ \dots$，一步比一步小，不是同一个常数，所以它不是等差数列。 （它每一项都比前一项大，但”递增”与”等差”是两回事。）

(3) 依次作差：

差在正负之间摆动，不是常数，所以它不是等差数列。

(4) 通分到 12 分母再作差：$1=\frac{12}{12}$，$\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$，$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$， $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$，$\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$，于是这 7 项依次是

$\frac{12}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{10}{12},\ \frac{9}{12},\ \frac{8}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{6}{12}.$

分子每次减 1，所以 6 个差全等于 $-\dfrac{1}{12}$，它是等差数列，公差 $d=-\dfrac{1}{12}$。

这道题的关键动作：先把各项化成同一种形式（同分母、同小数位）再作差——(4) 不通分几乎必错。

练习（第 20 页）第 2 题

2. 求下列各组数的等差中项：

(1) 647 和 895; (2) $-12\frac{1}{3}$ 和 $24\frac{3}{5}$ .

若 $A$ 是 $a$ 与 $b$ 的等差中项，则 $a,\ A,\ b$ 成等差数列，由 $A-a=b-A$ 得 $2A=a+b$，即

$A=\frac{a+b}{2}.$

(1)

$A=\frac{647+895}{2}=\frac{1542}{2}=771.$

核一遍：$771-647=124$，$895-771=124$，两个差相等，$771$ 确实是等差中项。

(2) 先把带分数化成假分数：$-12\frac{1}{3}=-\dfrac{37}{3}$，$24\frac{3}{5}=\dfrac{123}{5}$。 通分到 15 分母：

$-\frac{37}{3}=-\frac{185}{15},\qquad \frac{123}{5}=\frac{369}{15}.$

于是

$A=\frac{1}{2}\left(-\frac{185}{15}+\frac{369}{15}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{184}{15}=\frac{92}{15}.$

写成带分数是 $6\frac{2}{15}$。核一遍：$\dfrac{92}{15}-\left(-\dfrac{185}{15}\right)=\dfrac{277}{15}$， $\dfrac{369}{15}-\dfrac{92}{15}=\dfrac{277}{15}$，两个差相等。

这里保留分数到最后一步，不取小数：$\dfrac{92}{15}=6.1\overline{3}$ 是无限循环小数，早取近似会把 “两个差相等”这一步核不干净。

练习（第 20 页）第 4 题

4. 已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{4} + a_{8} = 20$，$a_{7} = 12$。求 $a_{4}$。

设首项为 $a_1$、公差为 $d$。

解法一（用下标和性质）。 因为 $4+8=2\times 6$，由等差数列的下标和性质 $a_p+a_q=a_s+a_t\ (p+q=s+t)$ 取 $p=4,\ q=8,\ s=t=6$，得

$a_4+a_8=2a_6=20 \;\Longrightarrow\; a_6=10.$

又 $a_7=12$，而 $a_7-a_6=d$，所以

$d=12-10=2.$

从 $a_7$ 退 3 个公差到 $a_4$：

$a_4=a_7-3d=12-3\times 2=6.$

解法二（基本量法，不依赖性质）。 把两个条件都写成 $a_1$ 与 $d$ 的式子：

第一式两边除以 2 得 $a_1+5d=10$，与第二式相减得 $d=2$，回代得 $a_1=12-12=0$。于是

$a_4=a_1+3d=0+6=6.$

两条路都给出 $a_4=6$。

回代核一遍：$a_1=0,\ d=2$ 时 $a_4=6$、$a_8=14$，$a_4+a_8=20$ 成立；$a_7=12$ 也成立。 两个已知条件都对得上，所以 $a_4=6$。

练习（第 20 页）第 5 题

5. 在 7 和 21 中插入 3 个数，使这 5 个数成等差数列.

插入 3 个数之后一共 5 项，记为 $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$，其中 $a_1=7$、$a_5=21$。 先数步数：从第 1 项走到第 5 项跨了 $5-1=4$ 个公差，所以

$a_5=a_1+4d \;\Longrightarrow\; 21=7+4d \;\Longrightarrow\; 4d=14 \;\Longrightarrow\; d=\frac{7}{2}=3.5.$

于是插入的三个数依次是

$a_2=7+3.5=10.5,\qquad a_3=10.5+3.5=14,\qquad a_4=14+3.5=17.5.$

即在 7 和 21 之间依次插入 $10.5$、$14$、$17.5$，五个数 $7,\ 10.5,\ 14,\ 17.5,\ 21$ 成等差数列。

核一遍：相邻两项之差依次是 $3.5,\ 3.5,\ 3.5,\ 3.5$，全相等；首项 $7$、末项 $21$ 与题目相符。

顺带记一条通法：在 $a$ 和 $b$ 之间插入 $k$ 个数，插完共 $k+2$ 项、跨 $k+1$ 个公差，所以 $d=\dfrac{b-a}{k+1}$。本题 $k=3$，$d=\dfrac{21-7}{4}=3.5$，一步到位。

练习（第 22 页）第 1 题

1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位。你能用 $a_{n}$ 表示第 $n$ 排的座位数吗？第10排有多少个座位？

设第 $n$ 排有 $a_n$ 个座位。题目说”从第 2 排起每一排都比前一排多 2 个座位”，就是

$a_n-a_{n-1}=2 \quad (n\geqslant 2),$

差是同一个常数，所以 $\{a_n\}$ 是等差数列，公差 $d=2$；又第 1 排有 15 个座位，即 $a_1=15$。 代入通项公式：

$a_n=a_1+(n-1)d=15+2(n-1)=2n+13.$

这里的 $n$ 取正整数，且不超过该看台的排数（题目没有给排数，所以只写通项、不另设上界）。

把 $n=10$ 代入：

$a_{10}=2\times 10+13=33.$

所以第 $n$ 排有 $2n+13$ 个座位，第 10 排有 33 个座位。

核一遍：$a_1=2\times 1+13=15$，与”第 1 排 15 个”相符；$a_2-a_1=17-15=2$，与”每排多 2 个”相符。 代 $n=1$ 回到首项，是通项公式写完必做的一步（防止把 $(n-1)d$ 写成 $nd$）。

练习（第 22 页）第 2 题

2. 画出数列 $a_{n} = \begin{cases} 18, & n = 1, \\ a_{n-1} - 3, & 1 < n \leqslant 6 \end{cases}$ 的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率.

题目给的是递推式：首项 $a_1=18$，从第 2 项起每一项比前一项少 3，且 $n$ 只取 $1$ 到 $6$。 由 $a_n-a_{n-1}=-3$ 知 $\{a_n\}$ 是公差 $d=-3$ 的等差数列（共 6 项）。

先算出六项。

$a_1=18,\quad a_2=15,\quad a_3=12,\quad a_4=9,\quad a_5=6,\quad a_6=3.$

也可以直接用通项公式核：$a_n=18+(n-1)(-3)=21-3n$，代 $n=1,\dots,6$ 得同样的六个数， 且 $a_1=21-3=18$ 与首项相符。

图象：在平面直角坐标系里描出这 6 个点

即 $(1,18),\ (2,15),\ (3,12),\ (4,9),\ (5,6),\ (6,3)$。图象是这 6 个孤立的点， 不是一条线段——$n$ 只取正整数，两点之间没有图象。

斜率：这 6 个点共线（因为 $a_n=21-3n$ 是 $n$ 的一次式），过它们的直线是 $y=21-3x$， 所以斜率

$k=-3.$

也可以直接用两点算：取 $(1,18)$ 与 $(6,3)$，

$k=\frac{3-18}{6-1}=\frac{-15}{5}=-3,$

与公差相同。

这道题的关键动作：公差就是那条直线的斜率。等差数列的通项 $a_n=dn+(a_1-d)$ 是 $n$ 的一次式， 所以点 $(n,a_n)$ 全落在斜率为 $d$ 的直线上——求斜率不必先求直线方程，读公差即可。