5.2 导数的运算

上一节把导数定义清楚了：$f'(x_0)$ 是平均变化率 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 在 $\Delta x \to 0$ 时的极限。 定义能算，但太慢——每求一次导数都要写一遍差商、约一次分、取一次极限。这一节要做的事只有一件： 把”每次都从定义算”换成”查表 + 套法则”。

课本按”先逐个从定义推、再列表”的顺序走。这里换个顺序：先说清为什么可以查表，再把表列出来， 最后讲怎么用它才不出错——因为这一节的失分几乎全在”用表”这一步，不在”推表”那一步。

一、为什么可以查表：导数是唯一确定的

一个函数在一点的导数是一个确定的数（极限存在时唯一）；于是当 $x$ 变化时，$x \mapsto f'(x)$ 就是 一个函数，叫 $f(x)$ 的导函数，也记作 $y'$：

$f'(x) = y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.$

唯一性是查表的全部依据：既然 $y = x^2$ 的导函数只能是一个，那么把它算一次、记下来， 以后遇到 $x^2$ 就直接写 $2x$，与重新算一遍是同一件事。课本从定义逐个推出 $c$、$x$、$x^2$、$x^3$、$\dfrac{1}{x}$、$\sqrt{x}$ 六个，正是在攒这张表。

这六次推导里，有三种”约掉 $\Delta x$“的手法值得记住，它们在后面的题里还会出现：

• 展开抵消（$x^2$、$x^3$）：把 $(x+\Delta x)^n$ 展开，$x^n$ 与 $-x^n$ 抵消，剩下的每一项都带 $\Delta x$， 于是分子分母同除 $\Delta x$；
• 通分（$\dfrac{1}{x}$）：$\dfrac{1}{x+\Delta x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}$，$\Delta x$ 自然出现在分子上；
• 有理化（$\sqrt{x}$）：分子分母同乘 $\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}$，把根号差变成 $\Delta x$。

二、基本初等函数的导数公式表

课本表 5.2-1 的六条（第 79 页），本站把它登记为「常见函数的导数」：

两组”特别地”值得单独记：$\mathrm{e}^x$ 与 $\ln x$ 之所以形状最干净，是因为它们把 $\ln a$ 这个系数 取成了 $1$。$\mathrm{e}$ 是让指数、对数求导最省事的那个底，这是它在微积分里到处出现的原因。

$\alpha \neq 0$ 那条限制不必死记：$\alpha = 0$ 时 $x^0 = 1$ 是常数，归第一行管，结果同样是 $0$。

三、用表之前，先把函数写成表里的形状

这一节的题九成长成这样：给你的式子不在表里，但化一下就在表里。所以真正的动作是”改写”，不是”求导”。

1. 根式、分式一律改写成幂。 表里只有 $x^{\alpha}$ 一条，所以

$\frac{1}{x^4} = x^{-4}, \qquad \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}}, \qquad \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}.$

改写之后套 $\alpha x^{\alpha-1}$，指数照样按实数减 $1$：$(x^{-4})' = -4x^{-5}$，$\left(x^{\frac{4}{3}}\right)' = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$。 负指数减 1 会更负、分数指数减 1 会变号，这两处符号是最常写错的地方。

2. 底数不是 $\mathrm{e}$ 的指数、对数，把 $\ln a$ 摆对位置。 指数函数的 $\ln a$ 在分子 （$(a^x)' = a^x \ln a$），对数函数的 $\ln a$ 在分母（$(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$）。 一个乘上去、一个除下来，记反了整道题就废了。

3. 底数小于 1 时 $\ln a < 0$。 $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)' = \left(\frac{1}{2}\right)^x \ln\frac{1}{2} = -\left(\frac{1}{2}\right)^x \ln 2$， $\left(\log_{\frac{1}{2}} x\right)' = \frac{1}{x\ln\frac{1}{2}} = -\frac{1}{x\ln 2}$。 两个负号都来自 $\ln \frac{1}{2} = -\ln 2$，而它们正对应”底数小于 1 的指数、对数函数单调递减”。 符号能与单调性对上，就说明没抄错表。

四、导数的两种读法：斜率与瞬时变化率

同一个 $f'(x_0)$ 有两种读法，题目问哪一种，就用哪一种语言作答：

• 几何：$f'(x_0)$ 是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处切线的斜率；
• 物理／实际：$f'(x_0)$ 是 $y$ 关于 $x$ 在 $x_0$ 处的瞬时变化率（速度、加速度、涨价速度、膨胀率…）， 单位是”$y$ 的单位／$x$ 的单位”。

课本例 2 的通货膨胀题就是第二种读法：$p(t) = 1.05^t$，$p'(t) = 1.05^t \ln 1.05$， $p'(10) \approx 0.08$ 的意思是”第 10 个年头前后，价格大约以每年 $0.08$ 元的速度上涨”。 写实际意义时把单位带上，这是这类题给分的那一句。

求切线方程的固定三步

这一节的第 3、4 题都是它，后面几节还会一直用：

1. 验点在不在曲线上。 把点的横坐标代进 $f$，看纵坐标对不对得上。对不上说明它不是切点 （那是”过某点作切线”的另一类题，要设切点）；
2. 算斜率 $k = f'(x_0)$；
3. 写点斜式 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$，再整理成一般式。

第 1 步不能省。题目说”在点 $P$ 处的切线”时 $P$ 一定在曲线上，但过点 $P$ 的切线不一定—— 两者只差一个字，解法完全不同。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 幂指数减 1 减错（尤其负指数与分数指数）。改写完先把 $\alpha$ 写在纸上，再写 $\alpha - 1$。
2. $\ln a$ 摆错位置（指数在分子、对数在分母）。
3. 底数小于 1 时丢掉负号。 用”减函数导数应为负”回头核一遍。
4. 切点没验。 “在点处”与”过点”混为一谈。
5. 切线只求出斜率就收工。 题目问的是方程，要写成 $y = kx + b$ 或一般式。
6. 实际意义不带单位、不说方向。 "$-1.4$"要读成”以每分钟 $1.4$ 的速度下降”。
7. $\log_a x$ 与 $\ln x$ 的定义域忘掉。 求导之前 $x > 0$ 就已经限定了，写切线时别把 $x \leqslant 0$ 的点也算进来。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只给一个读的顺序：

• 先做 2025 年第 12 题与 2024 年第 13 题：两道都是”由切线定参数”。前者给切线反求参数， 后者要求一条直线同时切两条曲线——正好把上面那三步正反各走一遍；
• 再做 2024 年第 6 题与 2024 年第 10 题：把导数公式表接到单调性、图象判断上， 练的是”求完导数之后拿它干什么”；
• 然后是 2023 年第 19 题与 2024 年第 18 题：含参函数求导后要分类讨论， 求导本身只是第一行，真正的工作在后面；
• 2022 年第 22 题与 2023 年第 22 题是这一节的上限：前者把”过一点作三条切线”翻译成 “某个函数有三个零点”，后者在一条抛物线上做几何最值。两道都在提醒一件事—— 导数公式表是入场券，不是解题法。

本节课本习题共 4 道，全在第 80 页「练习」里，逐题全做。本节没有「习题 5.2」—— 它排在 §5.2.3 那一节的末尾，归那一份详解。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

全程只用基本初等函数的导数公式表（课本表 5.2-1，第 79 页）： $(c)'=0$、$(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$、$(\sin x)'=\cos x$、$(\cos x)'=-\sin x$、 $(a^x)'=a^x\ln a$、$(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x$、$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$、$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$。

练习（第 80 页）第 1 题

1. 求下列函数的导数： (1) $y=\frac{1}{x^{4}}$ ; (2) $y=\sqrt[3]{x^{4}}$ ; (3) $y=3^{x}$ ; (4) $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ ; (5) $y=\log_{4}x$ ; (6) $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ .

六个小题的动作是同一个：先把式子改写成公式表里的形状，再套公式。

(1) 分式改写成负指数幂：$y=\dfrac{1}{x^4}=x^{-4}$（定义域 $x \neq 0$）。由 $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$，取 $\alpha=-4$，

$y'=-4x^{-4-1}=-4x^{-5}=-\frac{4}{x^{5}}.$

(2) 根式改写成分数指数幂：$y=\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac{4}{3}}$。取 $\alpha=\dfrac{4}{3}$，

$y'=\frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1}=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}=\frac{4}{3}\sqrt[3]{x}.$

(3) 直接套指数函数公式，底数 $a=3$：

$y'=3^{x}\ln 3.$

(4) 底数 $a=\dfrac{1}{2}$：

$y'=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\ln\frac{1}{2}=-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\ln 2.$

这里 $\ln\dfrac{1}{2}=-\ln 2<0$，所以 $y'<0$——与”底数小于 1 的指数函数单调递减”相符，符号核对通过。

(5) 对数函数公式，底数 $a=4$（定义域 $x>0$）：

$y'=\frac{1}{x\ln 4}=\frac{1}{2x\ln 2}.$

（用 $\ln 4=\ln 2^{2}=2\ln 2$ 化简，两种写法等价。）

(6) 底数 $a=\dfrac{1}{2}$（定义域 $x>0$）：

$y'=\frac{1}{x\ln\frac{1}{2}}=\frac{1}{-x\ln 2}=-\frac{1}{x\ln 2}.$

同样地，$y'<0$ 与”底数小于 1 的对数函数单调递减”相符。

这道题的关键动作：指数函数的 $\ln a$ 乘在分子上，对数函数的 $\ln a$ 除在分母上， 两者一乘一除，位置记反整题就废。

练习（第 80 页）第 2 题

2. 求下列函数在给定点处的导数：

(1) $y=x^{5}$ 在x=3处的导数；

(2) $y = \ln x$ 在 $x = \frac{2}{3}$ 处的导数；

(3) $y = \sin x$ 在 $x = 2\pi$ 处的导数；

(4) $y=e^{x}$ 在x=0处的导数.

两步：先求导函数，再代点。次序不能反——先代点会把函数变成常数，导数恒为 $0$。

(1) $y'=(x^{5})'=5x^{4}$，代 $x=3$：

$y'\big|_{x=3}=5\times 3^{4}=5\times 81=405.$

(2) $y'=(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$（$x>0$，而 $\dfrac{2}{3}>0$，在定义域内），代 $x=\dfrac{2}{3}$：

$y'\Big|_{x=\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}.$

(3) $y'=(\sin x)'=\cos x$，代 $x=2\pi$：

$y'\big|_{x=2\pi}=\cos 2\pi=1.$

(4) $y'=(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}$，代 $x=0$：

$y'\big|_{x=0}=\mathrm{e}^{0}=1.$

核一遍 (3)：$\sin x$ 在 $x=2\pi$ 附近正穿过零点向上走，切线斜率应为正且最大（$|\cos x|\leqslant 1$）， 算得 $1$，相符。

练习（第 80 页）第 3 题

3. 求余弦曲线 $y = \cos x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 处的切线方程.

第一步：验切点在曲线上。 把 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 代入 $y=\cos x$ 得 $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$， 与题给的纵坐标 $0$ 相符，所以 $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$ 确实是曲线上的点，它就是切点。 （这一步不能省：只有切点在曲线上时才能直接用 $k=f'(x_0)$。）

第二步：算斜率。 $y'=(\cos x)'=-\sin x$，代 $x=\dfrac{\pi}{2}$：

$k=-\sin\frac{\pi}{2}=-1.$

第三步：写点斜式。

$y-0=-1\cdot\left(x-\frac{\pi}{2}\right),$

整理得

$y=-x+\frac{\pi}{2},$

即一般式

$x+y-\frac{\pi}{2}=0.$

核一遍：切点 $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$ 代入 $y=-x+\dfrac{\pi}{2}$ 得 $0=-\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=0$， 在切线上；斜率 $-1<0$，与余弦曲线在 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 处正在下降相符。

练习（第 80 页）第 4 题

4. 求曲线 $y = x^{\frac{1}{2}}$ 在点（4，2）处的切线方程.

第一步：验切点。 $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ 的定义域是 $x\geqslant 0$；代 $x=4$ 得 $\sqrt{4}=2$， 与题给纵坐标相符，所以 $(4,2)$ 是曲线上的点。

第二步：算斜率。 由 $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}$ 取 $\alpha=\dfrac{1}{2}$，

$y'=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \quad (x>0),$

$x=4>0$ 在可导范围内（$x=0$ 处这个式子没有意义，本题不涉及），代入：

$k=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}.$

第三步：写点斜式。

$y-2=\frac{1}{4}(x-4),$

整理得

$y=\frac{1}{4}x+1,$

即一般式

$x-4y+4=0.$

核一遍：切点 $(4,2)$ 代入得 $4-8+4=0$，在切线上；$\sqrt{x}$ 是增函数，斜率应为正， 算得 $\dfrac{1}{4}>0$，相符。再取一个近点粗核：$\sqrt{4.41}=2.1$，而切线在 $x=4.41$ 处的值是 $\dfrac{4.41}{4}+1=2.1025$，两者相差 $0.0025$——切线在切点附近确实很贴近曲线（“以直代曲”）。

这道题的关键动作：根式先改写成分数指数幂，否则 $\sqrt{x}$ 不在公式表里，无从下手。