4.3 等比数列

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4.3 等比数列

我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？

4.3.1 等比数列的概念

请看下面几个问题中的数列.

1. 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列①：

9, 9 ^ {2}, 9 ^ {3}, \dots , 9 ^ {1 0};\tag{①}

1 0 0, 1 0 0 ^ {2}, 1 0 0 ^ {3}, \dots , 1 0 0 ^ {1 0};\tag{②}

5, 5 ^ {2}, 5 ^ {3}, \dots , 5 ^ {1 0}.\tag{③}

①古巴比伦人用六十进制记数，这里转化为十进制.

2. 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是

\frac {1}{2}, \frac {1}{4}, \frac {1}{8}, \frac {1}{1 6}, \frac {1}{3 2}, \dots\tag{④}

3. 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每 20 min 就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第 1 次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

2, 4, 8, 1 6, 3 2, 6 4, \dots .\tag{⑤}

4. 某人存入银行 $a$ 元，存期为5年，年利率为 $r$ ，那么按照复利②，他5年内每年末得到的本利和分别是

a (1 + r), a (1 + r) ^ {2}, a (1 + r) ^ {3}, a (1 + r) ^ {4}, a (1 + r) ^ {5}.\tag{⑥}

②复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.

探究

类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？

我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律.

如果用 $\{a_{n}\}$ 表示数列①，那么有

$\frac {a _ {2}}{a _ {1}} = 9, \frac {a _ {3}}{a _ {2}} = 9, \dots , \frac {a _ {1 0}}{a _ {9}} = 9.$

这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9.

其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律.

思考

类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 $q$ 表示（显然 $q \neq 0$）。例如，数列①～⑥的公比依次是9，100，5，$\frac{1}{2}$，2，$1 + r$。

与等差中项类似，如果在 $a$ 与 $b$ 中间插入一个数 $G$ ，使 $a, G, b$ 成等比数列，那么 $G$ 叫做 $a$ 与 $b$ 的等比中项（geometric mean）。此时，$G^2 = ab$。

探究

你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？

设一个等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$。根据等比数列的定义，可得

$a _ {n + 1} = a _ {n} \cdot q.$

所以

$a _ {2} = a _ {1} q,$

$a _ {3} = a _ {2} q = (a _ {1} q) q = a _ {1} q ^ {2},$

$a _ {4} = a _ {3} q = (a _ {1} q ^ {2}) q = a _ {1} q ^ {3},$

由此可得

$a _ {n} = a _ {1} q ^ {n - 1} (n \geqslant 2).$

又 $a_1 = a_1q^0 = a_1q^{1 - 1}$ ，这就是说，当 $n = 1$ 时上式也成立.

因此，首项为 $a_1$ ，公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为

$a _ {n} = a _ {1} q ^ {n - 1}.$

类似于等差数列与一次函数的关系，由 $a_{n} = \frac{a_{1}}{q} \cdot q^{n}$ 可知，当 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ 时，等比数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $n$ 项 $a_{n}$ 是函数 $f(x) = \frac{a_{1}}{q} \cdot q^{x} (x \in \mathbf{R})$ 当 $x = n$ 时的函数值，即 $a_{n} = f(n)$ （如图4.3-1所示）.

• •

类比指数函数的性质，说说公比 q > 0 的等比数列的单调性.

公比 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的图象有什么特点？

反之，任给函数 $f(x)=ka^{x}(k, a$ 为常数， $k\neq0, a>0$ ，且 $a\neq1$ ），则 $f(1)=ka$ ， $f(2)=ka^{2}, \cdots, f(n)=ka^{n}, \cdots$ 构成一个等比数列 $\{ka^{n}\}$ ，其首项为 ka，公比为 a.

下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题.

例1 若等比数列 $\{a_{n}\}$ 的第4项和第6项分别为48和12，求 $\{a_{n}\}$ 的第5项.

分析：等比数列 $\{a_{n}\}$ 由 $a_1$ ， $q$ 唯一确定，可利用条件列出关于 $a_1$ ， $q$ 的方程（组），进行求解.

解法1：由 $a_4 = 48$ ， $a_6 = 12$ ，得

\left\{ \begin{array}{l} a _ {1} q ^ {3} = 4 8, \\ a _ {1} q ^ {5} = 1 2. \end{array} \right.\tag{①}

②

②的两边分别除以①的两边，得

$q ^ {2} = \frac {1}{4}.$

解得

$q = \frac {1}{2} \text {或} - \frac {1}{2}.$

把 $q = \frac{1}{2}$ 代入①，得

$a _ {1} = 3 8 4.$

此时

$a _ {5} = a _ {1} q ^ {4} = 3 8 4 \times \left(\frac {1}{2}\right) ^ {4} = 2 4.$

把 $q = -\frac{1}{2}$ 代入①，得

$a _ {1} = - 3 8 4.$

此时

$a _ {5} = a _ {1} q ^ {4} = - 3 8 4 \times \left(- \frac {1}{2}\right) ^ {4} = - 2 4.$

因此， $\{a_{n}\}$ 的第5项是24或-24.

解法2：因为 $a_5$ 是 $a_4$ 与 $a_6$ 的等比中项，所以

$a _ {5} ^ {2} = a _ {4} a _ {6} = 4 8 \times 1 2 = 5 7 6.$

所以

$a _ {5} = \pm \sqrt {5 7 6} = \pm 2 4.$

因此， $\{a_{n}\}$ 的第5项是24或-24.

例2 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，试用 $\{a_{n}\}$ 的第 $m$ 项 $a_{m}$ 表示 $a_{n}$

解：由题意，得

\begin{array}{l} a _ {m} = a _ {1} q ^ {m - 1}, \\ a _ {n} = a _ {1} q ^ {n - 1}. \end{array}\tag{①}

②

…

②的两边分别除以①的两边，得

$\frac {a _ {n}}{a _ {m}} = q ^ {n - m},$

等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示.

所以

$a _ {n} = a _ {m} q ^ {n - m}.$

例3 数列 $\{a_{n}\}$ 共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列.

分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解.

解：设前三项的公比为 $q$ ，后三项的公差为 $d$ ，则数列的各项依次为 $\frac{80}{q^2}$ ， $\frac{80}{q}$ ，80，$80 + d$ ， $80 + 2d$ 。于是得

$\left\{ \begin{array}{l l} \frac {8 0}{q} + (8 0 + d) = 1 3 6, \\ \frac {8 0}{q ^ {2}} + (8 0 + 2 d) = 1 3 2. \end{array} \right.$

解方程组，得

$\left\{ \begin{array}{l l} q = 2, \\ d = 1 6, \end{array} \right. \quad \text {或} \left\{ \begin{array}{l l} q = \frac {2}{3}, \\ d = - 6 4. \end{array} \right.$

所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.

练习

1. 判断下列数列是不是等比数列. 如果是, 写出它的公比.

(1) 3, 9, 15, 21, 27, 33; (2) 1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.4641;

(3) $\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12}, \frac{1}{15}, \frac{1}{18}$; (4) $4, -8, 16, -32, 64, -128$.

2. 已知 $\{a_{n}\}$ 是一个公比为 $q$ 的等比数列，在下表中填上适当的数.

3. 在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1}a_{3} = 36$，$a_{2} + a_{4} = 60$。求 $a_{1}$ 和公比 $q$。

4. 对于数列 $\{a_{n}\}$，若点 $(n, a_{n})$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）都在函数 $y = cq^{x}$ 的图象上，其中 $c, q$ 为常数，且 $c \neq 0$，$q \neq 0, q \neq 1$，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是不是等比数列，并证明你的结论.

5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列.

(1) $a_3, a_5, a_7$ 是否构成等比数列？为什么？$a_1, a_5, a_9$ 呢？

(2) 当 n > 1 时， $a_{n-1}$ ， $a_{n}$ ， $a_{n+1}$ 是否构成等比数列？为什么？

当 $n > k > 0$ 时， $a_{n - k},a_n,a_{n + k}$ 是否构成等比数列？

例 4 用 10 000 元购买某个理财产品一年.

(1) 若以月利率 0.400% 的复利计息，12 个月能获得多少利息（精确到 0.01 元）?

（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到 $10^{-5}$ ）？

分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为 $a$ 元，每期的利率为 $r$ ，则从第一期开始，各期的本利和 $a, a(1 + r), a(1 + r)^2, \dots$ 构成等比数列.

解：（1）设这笔钱存 $n$ 个月以后的本利和组成一个数列 $\{a_{n}\}$，则 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，首项 $a_{1} = 10^{4}(1 + 0.400\%)$，公比 $q = 1 + 0.400\%$，所以

$a _ {1 2} = 1 0 ^ {4} (1 + 0. 4 0 0 \%) ^ {1 2} \approx 1 0 4 9 0. 7 0 2.$

所以，12个月后的利息为 $10490.702 - 10^{4} \approx 490.70$ （元）.

（2）设季度利率为 $r$ ，这笔钱存 $n$ 个季度以后的本利和组成一个数列 $\{b_n\}$ ，则 $\{b_n\}$ 也是一个等比数列，首项 $b_{1} = 10^{4}(1 + r)$ ，公比为 $1 + r$ ，于是

$b _ {4} = 1 0 ^ {4} (1 + r) ^ {4}.$

因此，以季度复利计息，存 4 个季度后的利息为

$[ 1 0 ^ {4} (1 + r) ^ {4} - 1 0 ^ {4} ] \text {元}.$

解不等式 $10^{4}(1 + r)^{4} - 10^{4} \geqslant 490.70$ ，得

$r \geqslant 1. 205 \%.$

所以，当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.

例 5 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}=3$ .

（1）若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d = 2$ ，证明数列 $\{3^{a_n}\}$ 为等比数列；

(2) 若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，公比 $q=\frac{1}{9}$ ，证明数列 $\{\log_{3}a_{n}\}$ 为等差数列.

分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.

证明：（1）由 $a_1 = 3$ ， $d = 2$ ，得 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为

$a _ {n} = 2 n + 1.$

设 $b_{n} = 3^{a_{n}}$ ，则

$\frac {b _ {n + 1}}{b _ {n}} = \frac {3 ^ {2 (n + 1) + 1}}{3 ^ {2 n + 1}} = 9.$

又

$b _ {1} = 3 ^ {3} = 2 7,$

所以， $\{3^{a_{n}}\}$ 是以 27 为首项，9 为公比的等比数列.

(2) 由 $a_{1}=3,\ q=\frac{1}{9}$ ，得

$a _ {n} = 3 \times \left(\frac {1}{9}\right) ^ {n - 1} = 3 ^ {3 - 2 n}.$

两边取以 3 为底的对数，得

$\log_ {3} a _ {n} = \log_ {3} 3 ^ {3 - 2 n} = 3 - 2 n.$

所以

$\log_ {3} a _ {n + 1} - \log_ {3} a _ {n} = [ 3 - 2 (n + 1) ] - (3 - 2 n) = - 2.$

又

$\log_ {3} a _ {1} = \log_ {3} 3 = 1,$

所以， $\{\log_{3}a_{n}\}$ 是首项为1，公差为-2的等差数列.

思考

已知 $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ，如果数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，那么数列 $\{b^{a_n}\}$ 是否一定是等比数列？如果数列 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正的等比数列，那么数列 $\{\log_b a_n\}$ 是否一定是等差数列？

例 6 某工厂去年 12 月试产 1050 个高新电子产品，产品合格率为 90%。从今年 1 月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品。1 月按去年 12 月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高 5%，产品合格率比前一个月增加 0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在 100 个以内？

分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，则各月不合格品的数量构成数列 $\{a_{n}b_{n}\}$。由题意可知，数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，$\{b_{n}\}$ 是等差数列。由于数列 $\{a_{n}b_{n}\}$ 既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法。

解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$

由题意，知

$a _ {n} = 1 0 5 0 \times 1. 0 5 ^ {n - 1},$

$b _ {n} = 1 - [ 9 0 \% + 0. 4 \% (n - 1) ] = 0. 1 0 4 - 0. 0 0 4 n \text {, 其中} n = 1, 2, \dots , 2 4,$

则从今年1月起，各月不合格产品的数量是

$\begin{array}{r l} a _ {n} b _ {n} & = 1 0 5 0 \times 1. 0 5 ^ {n - 1} \times (0. 1 0 4 - 0. 0 0 4 n) \\ & = 1. 0 5 ^ {n} \times (1 0 4 - 4 n). \end{array}$

由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）.

观察发现，数列 $\{a_{n}b_{n}\}$ 先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 $n\geqslant 6$ 时，$\{a_{n}b_{n}\}$ 递减，且 $a_{13}b_{13} < 100$ 即可.

由

$\frac {a _ {n + 1} b _ {n + 1}}{a _ {n} b _ {n}} = \frac {1 . 0 5 ^ {n + 1} \times [ 1 0 4 - 4 (n + 1) ]}{1 . 0 5 ^ {n} \times (1 0 4 - 4 n)} < 1,$

得

$n > 5.$

所以，当 $n \geqslant 6$ 时，$\{a_{n}b_{n}\}$ 递减.

又

$a _ {1 3} b _ {1 3} \approx 9 8 < 1 0 0,$

所以，当 $13 \leqslant n \leqslant 24$ 时，$a_{n}b_{n} \leqslant a_{13}b_{13} < 100$.

为什么 $n \leqslant 24$?

所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内.