导数的几何意义

教材原文

与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似，容易知道，割线 $P_{0}P$ 的斜率

$k = \frac {f (x) - f (x _ {0})}{x - x _ {0}}.$

记 $\Delta x = x - x_0$ ，当点 $P$ 沿着曲线 $y = f(x)$ 无限趋近于点 $P_0$ 时，即当 $\Delta x\to 0$ 时， $k$ 无限趋近于函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数. 因此，函数 $y = f(x)$ 在 $x = x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 就是切线 $P_0T$ 的斜率 $k_0$，即

$k _ {0} = \lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (x _ {0} + \Delta x) - f (x _ {0})}{\Delta x} = f ^ {\prime} (x _ {0}).$

这就是导数的几何意义.

要点

函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数 $f'(x_0)$ 等于曲线在点 $\big(x_0,f(x_0)\big)$ 处切线的斜率：

• 切线方程：$y-f(x_0)=f'(x_0)\,(x-x_0)$。
• 「已知切线求参数」的题眼：切点既在曲线上、又在切线上，且切线斜率 $=f'(x_0)$。