赋值法求系数和

解题套路

题目给出恒等式

（左边是某个具体的多项式，如 $(x+2)(x-1)^4$）。恒等式对每一个 $x$ 都成立，所以随便代一个 $x$，就得到系数的一个线性关系：

由这三个数就能拼出常见的各种组合：

为什么比展开快

要 $a_1+\dots+a_n$，硬办法是把 $n$ 个系数一个个算出来再加——$n$ 稍大就不现实。赋值法只需算两次函数值（$f(1)$ 与 $f(0)$），而这两次代入往往当场出数（$x=1$ 时 $(x-1)^4=0$，整个式子归零）。

挑哪个值

挑能让式子塌掉的那个。 含 $(x-1)^k$ 就代 $x=1$，含 $(x+2)$ 就代 $x=-2$，含 $(2x-3)$ 就代 $x=\dfrac32$——代完一大坨变成 $0$，剩下的一眼可见。这与恒成立题里代特殊值挤必要条件挑点的原则是同一条。

常见失手

• 忘了扣掉 $a_0$：$f(1)$ 是含 $a_0$ 的全部系数和。题目问 $a_1+\dots+a_n$ 时必须再减一次 $f(0)$。
• 把「系数」与「二项式系数」搞混：$a_k$ 是把数字都乘进去之后的系数，$\mathrm{C}_n^k$ 只是其中一个因子。
• 代的值让式子无意义：分式型的恒等式要避开分母为零的点。