浙江 2022 · 数学 q12

题面

12. 已知多项式 $(x+2)(x-1)^{4}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}$ ，则 $a_{2}=$ ____， $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$ ____。

答案

①. 8 ②. -2

解析

分析

第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 x=0 求出 $a_{0}$ ，再令 x=1 即可得出答案.

含 $x^{2}$ 的项为： $x \cdot C_{4}^{3} \cdot x \cdot (-1)^{3} + 2 \cdot C_{4}^{2} \cdot x^{2} \cdot (-1)^{2} = -4x^{2} + 12x^{2} = 8x^{2}$ ，故 $a_{2} = 8$ ；

令 $x = 0$ ，即 $2 = a_{0}$

令 x=1，即 $0=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$

$\therefore a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = - 2$

故答案为：8；-2.