浙江 2022 · 数学 q12

冷启动：这道题在问什么

① 恒等式的意思。 题目说

$$(x+2)(x-1)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5$$

左边乘开之后必然是一个 $5$ 次多项式（$1$ 次 × $4$ 次），右边就是它按 $x$ 的幂次排好的样子。$a_0,\dots,a_5$ 是确定的六个数，等式对每一个 $x$ 都成立——这一点第二空要用。

② 要用的唯一工具：二项式定理。

$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{C}_n^k\,a^{n-k}b^k,\qquad\text{通项 } T_{k+1}=\mathrm{C}_n^k\,a^{n-k}b^k$$

对本题的 $(x-1)^4$（即 $a=x$、$b=-1$、$n=4$）：

$$(x-1)^4=\sum_{k=0}^{4}\mathrm{C}_4^k\,x^{4-k}(-1)^k$$

注意 $(-1)^k$：$k$ 是偶数时为正、奇数时为负，负号是交替的。把五项列出来备用：

（系数就是 $\mathrm{C}_4^k(-1)^k$：$1,-4,6,-4,1$。）

③ 两个空各要什么。

• 第一空要一个系数 $a_2$——那就只算它，别的不管；
• 第二空要一串系数的和 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$——注意是从 $a_1$ 起，不含 $a_0$。

这两问的性质不同，用的招也不同，下面分别说。

解法一：各取所需——通项挑项，赋值求和

怎么想到的。 六个系数全算出来当然行，但那是体力活。问一个就只算一个，问一串就整体处理——这是这类题的省力原则。

第一空：$a_2$——找出所有能造出 $x^2$ 的通道

① 想清楚 $x^2$ 从哪来。 左边是 $(x+2)$ 乘 $(x-1)^4$。前面那个因式只有两项，所以恰好两条通道：

• 通道甲：$(x+2)$ 里取 $x$，那 $(x-1)^4$ 里就得取 $x^1$ 的那一项（$x\cdot x^1=x^2$）；
• 通道乙：$(x+2)$ 里取 $2$，那 $(x-1)^4$ 里就得取 $x^2$ 的那一项（$2\cdot x^2$）。

两条都要算，漏一条就少一半。

② 各算各的。 查第 ② 步那张表：

$$\text{通道甲：}\ x\cdot(-4x)=-4x^2$$ $$\text{通道乙：}\ 2\cdot 6x^2=12x^2$$

③ 合并。

$$a_2=-4+12=\boxed{8}$$

（用通项写就是 $x\cdot\mathrm{C}_4^3x^{1}(-1)^3+2\cdot\mathrm{C}_4^2x^{2}(-1)^2=-4x^2+12x^2=8x^2$，与官方解析一字不差。）

第二空：$a_1+\dots+a_5$——代两个值

④ 全部系数的和：代 $x=1$。 恒等式对每个 $x$ 都成立，代 $x=1$：

$$(1+2)(1-1)^4=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$$

左边 $=3\times0^4=0$。为什么挑 $1$：因为 $(x-1)^4$ 在 $x=1$ 处整个塌成 $0$，左边当场出数。于是

$$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$$

⑤ 常数项：代 $x=0$。 题目问的是从 $a_1$ 起的和，所以得把 $a_0$ 单独挖出来。代 $x=0$，右边只剩常数项：

$$(0+2)(0-1)^4=a_0\quad\Longrightarrow\quad a_0=2\times1=2$$

⑥ 相减。

$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=(a_0+a_1+\dots+a_5)-a_0=0-2=\boxed{-2}$$

这一减是本题第二空的全部考点——代完 $x=1$ 直接答 $0$，就是漏掉了 $a_0$。

解法二：老老实实全展开，六个系数一次算齐

怎么想到的。 这道题的次数只有 $5$，展开一遍也就两行——索性把六个系数全算出来，两空直接读。它比解法一慢，但换来两个好处：不必判断「哪几条通道」，而且天然自带核对（两空的答案能互相印证）。

① 先展开 $(x-1)^4$。 按二项式定理逐项算（系数是 $\mathrm{C}_4^k(-1)^k$，即 $1,-4,6,-4,1$）：

$$(x-1)^4=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$$

② 乘上 $(x+2)$，分成两行再合并。

$$x\cdot(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)=x^5-4x^4+6x^3-4x^2+x$$ $$2\cdot(x^4-4x^3+6x^2-4x+1)=\phantom{x^5}\ \ \,2x^4-8x^3+12x^2-8x+2$$

逐列相加（同次幂对齐）：

$$\begin{aligned} x^5&:\ 1\\ x^4&:\ -4+2=-2\\ x^3&:\ 6-8=-2\\ x^2&:\ -4+12=8\\ x^1&:\ 1-8=-7\\ x^0&:\ 2 \end{aligned}$$

于是

$$(x+2)(x-1)^4=x^5-2x^4-2x^3+8x^2-7x+2$$

③ 两空直接读。

$$a_0=2,\quad a_1=-7,\quad a_2=8,\quad a_3=-2,\quad a_4=-2,\quad a_5=1$$

第一空：$a_2=\boxed{8}$。

第二空：

$$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=-7+8-2-2+1=\boxed{-2}$$

④ 免费的核对。 六个系数全部相加：

$$2+(-7)+8+(-2)+(-2)+1=0$$

而 $f(1)=(1+2)(1-1)^4=0$——对上了 ✓。

这个检验的分量要说清楚：它只约束六个系数的总和，若 $a_2$ 多了 $1$、$a_3$ 少了 $1$ 这类互相抵消的错，它照样放行。所以它是必要不充分的核对——过了不能保证六个系数都对，没过则一定有错。想逐个验，得再代一个 $x=-1$（那给出交错和 $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$，与 $f(1)$ 一起还能分出奇偶两组）。反过来，解法二算出的 $a_0=2$ 与解法一第 ⑤ 步的赋值结果一致，这一条倒是对上了两条路的同一个量。

这两条路差在哪

• 解法一是挑：第一空只算贡献到 $x^2$ 的两项（另外四个系数从头到尾没出现过），第二空只算两个函数值 $f(1)$、$f(0)$。快，但要判断清楚「哪几条通道」和「问的是从哪一项起」。
• 解法二是全算：把乘积整个展开，六个系数一次摆齐，两空都是读数。慢一点，但没有判断，只有算术，而且自带核对。

第一个实质动作就分岔了（挑项 / 代值 vs 整体展开），中间对象也不同——解法二造出了 $a_0\dots a_5$ 这一整组数，而解法一里除了 $a_2$ 与 $a_0$ 之外一个都没算过。所以是两条路。

考场上怎么选：次数低（$\le5$）就走解法二，稳；次数一高（如 $(x+2)(x-1)^{10}$），全展开就不现实了，只能走解法一。填空题两空都要填，时间允许时用另一条路核一遍最划算——第 ④ 步那个「全部系数和 $=f(1)$」是一次几乎不花钱的检验。

🕳️ 避坑

• 第二空是从 $a_1$ 起，不含 $a_0$。 代 $x=1$ 得到的 $0$ 是含 $a_0$ 的总和，还要减去 $a_0=2$。直接答 $0$ 是这道题最标准的丢分法。
• 两条通道都要算。 求 $a_2$ 时 $(x+2)$ 里的 $x$ 与 $2$ 各贡献一次（$-4$ 与 $+12$）。只算一条会得到 $-4$ 或 $12$，都不是答案。
• $(x-1)^4$ 的负号是交替的。 系数依次是 $1,-4,6,-4,1$。把 $(x-1)^4$ 当成 $(x+1)^4$ 处理，$a_2$ 就会算成 $4+12=16$。
• 通项的下标别错位。 $T_{k+1}=\mathrm{C}_4^kx^{4-k}(-1)^k$ 里，$x$ 的次数是 $4-k$ 不是 $k$。要 $x^2$ 得取 $k=2$，要 $x^1$ 得取 $k=3$。
• 本题特有的一处：$x=1$ 之所以是绝佳的代入点，是因为 $(x-1)^4$ 在那里整个变成 $0$，左边不用算就知道是 $0$。看到题面里有 $(x-c)^n$ 这样的因式，就该想到「代 $x=c$ 能让它塌掉」——挑代入点的通用原则是挑能让式子塌掉的那个。