浙江 2009 · 数学 q15

冷启动：四行长得一模一样，先把它们摆成一张表

题面给的四行，左边都是「下标固定、上标从 $1$ 起每次加 $4$」的一串组合数之和，右边都是两个 $2$ 的幂：

三件要先说清的小事：

• 下标是 $5,9,13,17$，正好是 $4n+1$；上标从 $1$ 起每次加 $4$，一直取到下标本身。待填那一行 $\mathrm{C}_{4n+1}^{1}+\mathrm{C}_{4n+1}^{5}+\cdots+\mathrm{C}_{4n+1}^{4n+1}$ 写的就是这个规则，所以「第几行」与「$n$」是同一个字母，不必再对位。
• 第一行右边的那个 $2$ 就是 $2^{1}$。 指数被省掉了，不补出来，第二项的指数根本排不成一列。这是本题唯一的一处「省略写法」。
• 左边的值题面一个都没写，得自己算：$6$、$136$、$2016$、$32896$。后面每一条路都要拿它们回代，先算出来放着。

解法一：把每一列竖着读成一个数列

整行整行地猜是猜不出来的——一行里下标、两个指数、一个符号四件事绞在一起。一个位置只有一个自由度，所以竖着读。

① 下标那一列。 $5,9,13,17$，逐差都是 $4$，首项 $5$，于是第 $n$ 行的下标是 $5+(n-1)\cdot4=4n+1$。上标那一列 $1,5,9,\dots$ 同样公差 $4$，止于下标本身。这与题面待填的那一行写的完全一致，说明「第几行」确实就是 $n$。

② 右边第一项的指数。 $3,7,11,15$，逐差都是 $4$，首项 $3$：

$$3+(n-1)\cdot4=4n-1 .$$

③ 右边第二项的指数。 先把第一行的 $2$ 补成 $2^{1}$，这一列才是 $1,3,5,7$；逐差都是 $2$，首项 $1$：

$$1+(n-1)\cdot2=2n-1 .$$

④ 符号那一列。 $-,+,-,+$：$n$ 为奇数时取负、$n$ 为偶数时取正，正是 $(-1)^{n}$（不是 $(-1)^{n+1}$——按第一行定，$n=1$ 要给负号）。

⑤ 装回原位。

$$\mathrm{C}_{4n+1}^{1}+\mathrm{C}_{4n+1}^{5}+\mathrm{C}_{4n+1}^{9}+\cdots+\mathrm{C}_{4n+1}^{4n+1}=2^{4n-1}+(-1)^{n}2^{2n-1} .$$

答案 $2^{4n-1}+(-1)^{n}2^{2n-1}$。

⑥ 回代题面给的四行（零成本的必做功课）：

⑦ 再预测一行题面没给的。 取 $n=5$：一般式给 $2^{19}-2^{9}=524288-512=523776$；照定义实算

$$\mathrm{C}_{21}^{1}+\mathrm{C}_{21}^{5}+\mathrm{C}_{21}^{9}+\mathrm{C}_{21}^{13}+\mathrm{C}_{21}^{17}+\mathrm{C}_{21}^{21} =21+20349+293930+203490+5985+1=523776 .$$

两边对上。这一步不用任何新知识，却比「再回代一遍已经给了的行」有力得多——它检验的是外推。

⑧ 说清这是什么。 到这里得到的是一个猜想。题目问的是「推测」，填空题写到这里就够了。但「前五行都对」仍然推不出「对一切 $n$ 成立」，真要证得另找路——下面两条解法就是。

解法二：记两组和 $A$、$B$，$A+B$ 与 $A-B$ 各算一次

记 $m=4n+1$，把 $m$ 个奇数上标按除以 $4$ 的余数分成两组：

$$A=\mathrm{C}_{m}^{1}+\mathrm{C}_{m}^{5}+\cdots+\mathrm{C}_{m}^{4n+1}\quad(\text{上标 }\equiv1),\qquad B=\mathrm{C}_{m}^{3}+\mathrm{C}_{m}^{7}+\cdots+\mathrm{C}_{m}^{4n-1}\quad(\text{上标 }\equiv3).$$

$A$ 正是所求。两个未知数，只要两个方程。

① 第一个方程：$A+B$。 $A+B$ 是全部奇数上标的和。把 $x=1$ 与 $x=-1$ 代进 $(1+x)^{m}=\sum_{k=0}^{m}\mathrm{C}_{m}^{k}x^{k}$：

$$2^{m}=\sum_{k}\mathrm{C}_{m}^{k},\qquad 0=\sum_{k}(-1)^{k}\mathrm{C}_{m}^{k} .$$

两式相减再除以 $2$，得奇数项之和

$$A+B=\sum_{k\ \text{奇}}\mathrm{C}_{m}^{k}=2^{m-1}=2^{4n} .$$

② 第二个方程：$A-B$ 是一个虚部。 把 $x=i$ 代进同一个恒等式（$i$ 是虚数单位，$i^{2}=-1$）：

$$(1+i)^{m}=\sum_{k=0}^{m}\mathrm{C}_{m}^{k}i^{k} .$$

$i$ 的幂四个一循环：$i^{0}=1,\ i^{1}=i,\ i^{2}=-1,\ i^{3}=-i$。虚部只由奇数 $k$ 贡献，而且上标 $\equiv1$ 的给 $+$、上标 $\equiv3$ 的给 $-$。所以

$$\operatorname{Im}\left[(1+i)^{m}\right]=A-B .$$

③ 把 $(1+i)^{m}$ 算出来。 不必写成模与辐角的形式，平方两次就够：

$$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i,\qquad (1+i)^{4}=(2i)^{2}=-4 .$$

于是 $(1+i)^{4n}=(-4)^{n}=(-1)^{n}2^{2n}$，再乘一个 $(1+i)$：

$$(1+i)^{m}=(1+i)^{4n+1}=(-1)^{n}2^{2n}(1+i)=(-1)^{n}2^{2n}+(-1)^{n}2^{2n}\,i .$$

取虚部：

$$A-B=(-1)^{n}2^{2n} .$$

④ 解这个二元一次方程组。

$$A=\frac{(A+B)+(A-B)}{2}=\frac{2^{4n}+(-1)^{n}2^{2n}}{2}=2^{4n-1}+(-1)^{n}2^{2n-1} .$$

答案 $2^{4n-1}+(-1)^{n}2^{2n-1}$，与解法一猜出来的逐字相同——而这一条是推出来的，对每个 $n$ 都成立。

⑤ 拿第一行验一遍。 $n=1$，$m=5$：$A+B=2^{4}=16$，$A-B=(-1)^{1}2^{2}=-4$，故 $A=6$、$B=10$。题面第一行左边确实是 $6$，而 $B=\mathrm{C}_{5}^{3}=10$ 也对。

解法三：四次单位根滤波，一步筛出上标 $\equiv 1$ 的项

解法二靠「$A+B$ 恰好好算、$A-B$ 恰好是一个虚部」这点巧劲。把巧劲换成公式，就是单位根滤波：要从 $f(x)=\sum_k a_kx^{k}$ 里只留下标 $\equiv r\ (\mathrm{mod}\ 4)$ 的那些项，用四次单位根 $1,i,-1,-i$ 各取一次值再加权平均。

① 滤波公式。 对 $k$ 与 $r$，

$$\frac14\sum_{j=0}^{3}i^{-jr}\cdot i^{jk}=\frac14\sum_{j=0}^{3}i^{\,j(k-r)}= \begin{cases}1,&4\mid k-r,\\ 0,&\text{否则}\end{cases}$$

（后一行是公比 $i^{k-r}\neq1$ 的等比和，$\dfrac{i^{4(k-r)}-1}{i^{k-r}-1}=0$）。所以

$$\sum_{k\equiv r}a_k=\frac14\sum_{j=0}^{3}i^{-jr}f(i^{j}).$$

② 代进本题。 取 $f(x)=(1+x)^{m}$（$a_k=\mathrm{C}_{m}^{k}$）、$r=1$，注意 $i^{-1}=-i$、$i^{-2}=-1$、$i^{-3}=i$：

$$A=\frac14\Big[f(1)-i\,f(i)-f(-1)+i\,f(-i)\Big].$$

③ 四个函数值。 $f(1)=2^{m}$；$f(-1)=0^{m}=0$（$m=4n+1\geqslant5$，所以这一项白送）；$f(i)=(1+i)^{m}$，由解法二 ③ 已知等于 $(-1)^{n}2^{2n}(1+i)$；$f(-i)=(1-i)^{m}$ 是它的共轭，等于 $(-1)^{n}2^{2n}(1-i)$。

④ 合并中间两项。 记 $t=(-1)^{n}2^{2n}$：

$$-i\,f(i)+i\,f(-i)=t\big[-i(1+i)+i(1-i)\big]=t\big[(1-i)+(1+i)\big]=2t .$$

⑤ 收尾。

$$A=\frac14\left[2^{m}+2t\right]=2^{m-2}+\frac{t}{2}=2^{4n-1}+(-1)^{n}2^{2n-1} .$$

（$m-2=4n-1$。）答案 $2^{4n-1}+(-1)^{n}2^{2n-1}$。

⑥ 这条路多给了什么。 它不挑题：把 $r$ 换成 $0,2,3$，同一套算式立刻给出另外三组的和（例如 $r=3$ 那组就是上标 $\equiv3$ 的那些项之和，只需把 $i^{-jr}$ 里的 $r$ 改成 $3$）；把模数 $4$ 换成别的正整数 $d$，换成 $d$ 次单位根照做。解法二则是它在 $r=1$、且 $f(-1)=0$ 时的省力写法。

三条路的分工

最后一句：猜与证是两件事

本题问「推测」，写出那个式子就得分。但猜出来的式子只是猜想：前四行、前五行都对，也排除不了「第六行开始分道」。$n^{2}+n+41$ 在 $n=0$ 到 $39$ 上全是质数，$n=40$ 就塌了——这类例子并不罕见。

所以养成两个习惯：猜完先回代题面给的每一行，再预测一个题面没给的 $n$（本题就是 $n=5$ 的 $523776$）；真要证时，知道该往哪找——赋值代入（解法二）或滤波公式（解法三）。