浙江 2009 · 数学 q15

题面

15. （2009 浙江理 15）观察下列等式:

$C_{5}^{1} + C_{5}^{5} = 2^{3} - 2.$

$C_{9}^{1} + C_{9}^{5} + C_{9}^{9} = 2^{7} + 2^{3}.$

$C_{1 3}^{1} + C_{1 3}^{5} + C_{1 3}^{9} + C_{1 3}^{1 3} = 2^{1 1} - 2^{5}$

$C_{1 7}^{1} + C_{1 7}^{5} + C_{1 7}^{9} + C_{1 7}^{1 3} + C_{1 7}^{1 7} = 2^{1 5} + 2^{7},$

…

由以上等式推测到一个一般的结论:

对于 $n \in N^{*}$, $C_{4n+1}^{1} + C_{4n+1}^{5} + C_{4n+1}^{9} + \cdots + C_{4n+1}^{4n+1} =$ ____.

15

答案

$2^{4n - 1} + (-1)^{n}2^{2n - 1}$

【解题关键点】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有 $\left(-1\right)^{n}$ ，二项指数分别为 $2^{4n-1},2^{2n-1}$ ，因此对于 $n\in N^{*}$ ， $C_{4n+1}^{1}+C_{4n+1}^{5}+C_{4n+1}^{9}+\cdots+C_{4n+1}^{4n+1}=2^{4n-1}+\left(-1\right)^{n}2^{2n-1}$