浙江 2021 · 数学 q13

这道题在问什么

$(x-1)^{3}+(x+1)^{4}=x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}$

左边是两个二项式幂的和，右边把它整理成按降幂排列的四次多项式。两问：

1. 求 $x^3$ 的系数 $a_1$；
2. 求 $a_2+a_3+a_4$（后三项系数之和）。

第一问要「某一个系数」，第二问要「一组系数的和」——正好对应二项展开式系数题的两种标准手法。

解法一：直接展开

第一问：展开，合并，读 $x^3$ 的系数

次数不高（3 和 4），直接套二项式定理展开：

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

相加，按降幂合并同类项：

$(x-1)^3+(x+1)^4 = x^4 + (1+4)x^3 + (-3+6)x^2 + (3+4)x + (-1+1)$

$= x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 7x + 0$

与右边 $x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$ 逐项对比：

$a_1=5,\quad a_2=3,\quad a_3=7,\quad a_4=0$

$\boxed{a_1=5}$

第二问：把已算出的系数加起来

既然展开已经把每个系数都算出来了，直接加：

$a_2+a_3+a_4 = 3+7+0 = 10$

$\boxed{a_2+a_3+a_4=10}$

这条路什么时候够用

次数低（本题最高 4 次）、项数少（只有两个二项式相加），展开的计算量完全可控。如果题目是 $(x-1)^{20}$ 这种高次幂，逐项展开就不现实了——得用通项只挑需要的那一项。

解法二：赋值法

第一问仍然需要展开（或至少用通项提取 $x^3$ 项），没有捷径——赋值给的是系数的和，拿不到单个系数。所以第一问的做法与解法一相同：展开得 $a_1=5$。

第二问换一条路。

怎么想到的

题目要 $a_2+a_3+a_4$——一组系数的和。逐个算出来再加当然行（解法一已经做了），但「系数和」这三个字有一个条件反射式的工具：赋值。

原理很简单：等式

$(x-1)^3+(x+1)^4 = x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$

是一个恒等式——对每一个 $x$ 都成立。令 $x=1$，右边就变成所有系数的和：

$\text{右边}=1+a_1+a_2+a_3+a_4$

而左边在 $x=1$ 处直接算：

$\text{左边}=(1-1)^3+(1+1)^4=0+16=16$

（$(x-1)^3$ 在 $x=1$ 处塌成零——这正是选 $x=1$ 的理由：它让左边尽可能简单。）

一步出结果

$1+a_1+a_2+a_3+a_4=16$

由第一问 $a_1=5$：

$a_2+a_3+a_4=16-1-5=10$

$\boxed{a_2+a_3+a_4=10}$

不用算 $a_2=3$、$a_3=7$、$a_4=0$ 再逐个加——一次代入、一次减法，完事。

两条路的对比

本题次数低，两条路都很快。但「求系数和用赋值」是通用手法——遇到 $(x-1)^{20}$ 求 $a_1+a_2+\dots+a_{20}$，展开要算 20 个系数，赋值只需 $f(1)-f(0)$ 两次代入。

避坑

• $f(1)$ 含首项系数和常数项。 令 $x=1$ 得到的是 $1+a_1+a_2+a_3+a_4=16$——右边的 $1$ 是 $x^4$ 的系数（首项），不是可以忽略的。题目问 $a_2+a_3+a_4$，必须再减掉 $1$ 和 $a_1$。忘了减首项的 $1$，会得到 $11$ 而不是 $10$。
• $(x-1)^3$ 展开时负号跟奇偶。 通项 $T_{k+1}=\mathrm{C}_3^k x^{3-k}(-1)^k$，$k$ 为奇数时那一项带负号。本题 $x^2$ 项的系数是 $\mathrm{C}_3^1\cdot(-1)^1=-3$，不是 $+3$。