浙江 2012 · 数学 q06

冷启动：先把「和为偶数」翻译成一句能数的话

$1$ 到 $9$ 这九个整数里，奇数有五个（$1,3,5,7,9$），偶数有四个（$2,4,6,8$）。

同时取四个不同的数，取的是一组数、不讲先后，所以每一种取法就是「九个里挑四个」，总数是 $\mathrm{C}_9^4$。

关键的一句翻译：偶数加进来不改变和的奇偶，奇数加一个就翻一次。所以

$$\text{四个数的和是偶数}\iff \text{取到的奇数个数是偶数} .$$

取四个数，奇数个数只能是 $0,1,2,3,4$，其中偶数个的是 $0$、$2$、$4$ 三种。原题就此变成一道纯粹的数数题。

答案是 D：$66$ 种。

解法一：按取到几个奇数分类——只有 $0$、$2$、$4$ 这三类

怎么想到的。 上面那句翻译已经把条件挂在「奇数个数」这一个量上，那就拿它当分类标准：同一类里奇数个数相同，不同类不可能撞车，三类合起来就是全部——不重不漏是自带的。

设取到 $k$ 个奇数，则偶数取 $4-k$ 个，这一类的取法数是 $\mathrm{C}_5^{k}\mathrm{C}_4^{4-k}$（奇数堆里挑 $k$ 个、偶数堆里挑 $4-k$ 个，两步独立相乘）。

$$1+60+5=66 .$$

三类的边界都要看一眼。 $k=0$ 那一类是「一个奇数都不取」——偶数只有四个，正好全取，恰有 $1$ 种，很容易被当成 $0$ 种漏掉；$k=4$ 那一类是「四个全是奇数」，五选四得 $5$ 种。只要漏掉 $k=0$ 那一类，答案就落到 $65$，正是选项 C。

选 D。

解法二：正难则反——先数全部 $126$ 种，再减掉和为奇数的

怎么想到的。 「和为偶数」和「和为奇数」把全部取法正好劈成两半（任何一种取法，四个数的和非奇即偶）。哪一半好数就数哪一半，另一半用减法。这里两边都不难，但做完减法等于把解法一验算了一遍——两条路各自独立，对上了才踏实。

总数。 九个数取四个，$\mathrm{C}_9^4=\dfrac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$。

和为奇数的那一半：奇数个数为 $1$ 或 $3$。

$$\mathrm{C}_5^{1}\mathrm{C}_4^{3}=5\times 4=20,\qquad \mathrm{C}_5^{3}\mathrm{C}_4^{1}=10\times 4=40,\qquad 20+40=60 .$$ $$126-60=66 .$$

与解法一一致。顺带看清了两个错误选项的来历：$60$ 正是「和为奇数」那一半——把问题读反就会落在 A；而 $63=126\div 2$ 是「以为奇、偶各占一半」的产物，落在 B。这道题的全部意思，恰恰是这两半并不一样多。

解法三：给奇数记 $-1$、偶数记 $+1$——把「乘积为 $+1$」的那一半抽出来

怎么想到的。 想把一堆东西按某个「二选一」的性质切成两半，标准招数是给两半各配一个相反的权重，再让它们自己抵消：给每个奇数配 $-1$、每个偶数配 $+1$，一组四个数的权重之积就是 $(-1)^{\text{奇数个数}}$，于是

$$\text{和为偶数}\iff \text{权重之积}=+1,\qquad \text{和为奇数}\iff \text{权重之积}=-1 .$$

记 $N=126$ 为总组数，$S$ 为所有四元组的权重之积再求和。和为偶数的每组贡献 $+1$、和为奇数的每组贡献 $-1$，所以

$$N=(\text{偶})+(\text{奇}),\qquad S=(\text{偶})-(\text{奇}) \ \Longrightarrow\ (\text{偶})=\frac{N+S}{2} .$$

$S$ 怎么算。 把「选或不选」写成一个乘积：每个偶数贡献因子 $(1+y)$（不选记 $1$，选记 $y$，权重 $+1$），每个奇数贡献因子 $(1-y)$（选它带一个 $-1$）。四个偶数、五个奇数，于是

$$(1-y)^{5}(1+y)^{4}=\bigl[(1-y)(1+y)\bigr]^{4}(1-y)=(1-y^{2})^{4}(1-y) ,$$

而 $y$ 的指数记的就是「一共取了几个数」，所以 $S$ 是这个多项式里 $y^{4}$ 的系数。$(1-y^{2})^{4}$ 只有 $y$ 的偶次项，按二项式定理它的 $y^{4}$ 项系数是 $\mathrm{C}_4^{2}(-1)^{2}=6$；乘上 $(1-y)$ 里的 $1$ 得 $6$，乘上 $-y$ 需要 $(1-y^{2})^{4}$ 出 $y^{3}$、而它没有奇次项，贡献 $0$。故

$$S=6,\qquad (\text{偶})=\frac{126+6}{2}=66 .$$

这条路多说了一件事：$S$ 就是「两半差多少」。 $S=6$ 不是 $0$，而 $6$ 恰好是 $66-60$。

别把这点不对称归到「奇数比偶数多一个」头上。 这是个很自然、但被上面那步计算自己否掉的猜想：算 $y^{4}$ 系数时，$(1-y)$ 里的 $-y$ 要配 $(1-y^{2})^{4}$ 的 $y^{3}$ 项，而后者只有偶次项、$y^{3}$ 的系数是 $0$——所以那个多出来的 $(1-y)$ 对 $S$ 的贡献是 $0$，$S=6$ 整个来自 $(1-y^{2})^{4}$。

真把「多一个」这点差别抹掉也不管用。换一只四奇四偶的池子（奇数 $\{1,3,5,7\}$、偶数 $\{2,4,6,8\}$），同样取四个：母函数变成 $(1+y)^{4}(1-y)^{4}=(1-y^{2})^{4}$，$S=[y^{4}](1-y^{2})^{4}=\mathrm{C}_4^{2}=6$，还是 $6$。照解法一数一遍验证：和为偶的是 $\mathrm{C}_4^{0}\mathrm{C}_4^{4}+\mathrm{C}_4^{2}\mathrm{C}_4^{2}+\mathrm{C}_4^{4}\mathrm{C}_4^{0}=1+36+1=38$，和为奇的是 $\mathrm{C}_4^{1}\mathrm{C}_4^{3}+\mathrm{C}_4^{3}\mathrm{C}_4^{1}=16+16=32$，合计 $70=\mathrm{C}_8^4$，差 $38-32=6$——一模一样。

那什么时候两半才真的一样多？ 要的是 $S=0$，也就是 $(1+y)^{E}(1-y)^{O}$（$E$、$O$ 是偶数、奇数的个数）在 $y^{k}$ 这一项上恰好抵消。还拿那只四奇四偶的池子说：母函数 $(1-y^{2})^{4}$ 只有偶次项，所以取奇数个（$k=1,3,5,7$）时 $S=0$、两半严丝合缝地平分；取偶数个时反倒一定不平分。比如从这八个数里取三个：$\mathrm{C}_8^3=56$，和为偶的 $\mathrm{C}_4^{0}\mathrm{C}_4^{3}+\mathrm{C}_4^{2}\mathrm{C}_4^{1}=4+24=28$，和为奇的 $\mathrm{C}_4^{1}\mathrm{C}_4^{2}+\mathrm{C}_4^{3}\mathrm{C}_4^{0}=24+4=28$，真的各占一半。

所以「凭什么正好一半」这个疑问是对的，理由却不是「奇偶个数不等」，而是：平分与否只看母函数在 $y^{k}$ 这一层上有没有东西可抵消，跟两堆一样大不一样大是两回事。

三条提醒

1. 先翻译，再数数。 「和为偶数」直接数是数不动的，翻成「奇数个数为偶」之后才有分类标准。翻译这一步用的只是一句话：偶数不改变奇偶，奇数每加一个翻一次。
2. $k=0$ 那一类最容易被吃掉。 「一个奇数都不取」听上去像「什么都没取」，其实是实打实的一种取法（四个偶数正好全要）。$\mathrm{C}_5^{0}=1$ 不是 $0$。漏掉它得 $65$，题目专门把它做成了选项 C。
3. 别默认奇偶各半。 $126$ 是偶数，很容易顺手一除得 $63$（选项 B）。可「两半一样多」是要证的，不是默认的——本题的两半是 $66$ 与 $60$，差 $6$。顺带提醒一句：这点差别不是「奇数五个、偶数四个」造成的（解法三末尾算过：把池子换成四奇四偶，取四个时差的还是 $6$）；平分与否要看解法三里那个 $S$ 到底等不等于 $0$，光看两堆一样大不一样大是判不出来的。