常数项当成有理项

通项 $T_{r+1}=\mathrm{C}_{n}^{r}(\sqrt{a})^{\,n-r}x^{r}$ 里有两个指数，它们各自回答一个不同的问题：

两个条件互不包含，于是四种组合都可能出现。$(\sqrt{2}+x)^{9}$ 就是最干净的反例：常数项在 $r=0$ 处，而 $9-0=9$ 是奇数，所以那一项的系数 $\mathrm{C}_{9}^{0}(\sqrt{2})^{9}=16\sqrt{2}$ 偏偏是无理的——它不在「系数为有理数的 $5$ 项」里。

由此派生的三种典型错法：

• 拿「系数有理」去找常数项：从 $r$ 奇里挑一个当常数项，答案直接错。
• 数有理项时把常数项算进去（或反过来，觉得常数项一定「最简单、一定有理」而多数一项）：本题正确答案是 $5$，把常数项也算上会写成 $6$。
• 两空混着用一个判据：先解出 $r=0$，然后又说「所以 $r$ 取偶数的项系数有理」——判据张冠李戴。

过这个坑的动作：写完通项，先把两个指数分别圈出来，在草稿上写清「$x$ 的次数是 ____，根号的次数是 ____」，再逐空对号入座。两个空的答案本来就没有理由相容。