浙江 2019 · 数学 q10

冷启动：先把四个选项读对，再看这递推能不能算

题面给的是

$$a_1=a,\qquad a_{n+1}=a_n^{2}+b\quad(n\in\mathbf{N}^*),$$

四个选项各指定一个 $b$，断言 $a_{10}>10$。

第一个坎：$a$ 谁都没限定。 选项里只出现 $b$，$a$ 是自由的，所以每个选项只能读作 「对任意 $a$ 都有 $a_{10}>10$」。为什么不能读成「存在某个 $a$」？取 $a=100$ 试一下： $a_2=10000+b$，四个 $b$ 都让 $a_2>9990$，往后每一步平方，$a_{10}$ 大得离谱——四个选项就全真了， 题目也就没得选。原卷把「时」字漏印成一个逗号（「当 $b=\frac{1}{2}, a_{10}>10$」）， 这层读法它自己没写，本站在校订层的 note ② 里记了一笔。

第二个坎：这递推求不出通项。 $a_{n+1}=a_n^{2}+b$ 是二次的，既不等差、也不等比， 「凑一个新数列让它等差或等比」那套手法（取倒数、加常数、除以指数）在平方面前全失效。 所以别想着求 $a_n$ 再代 $n=10$——这道题从头到尾只能估，或者造反例。

于是两条路自然分岔：

• 正面证一条：挑出那个看起来一定会爆的 $b$，把 $a_{10}$ 估到 $10$ 以上（解法一）；
• 反面刷三条：给另外三个 $b$ 各造一个 $a$，让整条数列都待在 $10$ 以下（解法二）。

两条路的第一步竟然是同一个配方。把相邻两项一减：

$$a_{n+1}-a_n=a_n^{2}-a_n+b=\Bigl(a_n-\frac12\Bigr)^{2}+\Bigl(b-\frac14\Bigr).$$

$b-\frac14$ 的正负就是这道题的总开关：

• $b>\frac14$：右边恒 $\ge b-\frac14>0$，数列每步至少加 $b-\frac14$，只能一路往上；
• $b\le\frac14$：右边可以取到 $0$（取 $a_n=\frac12\pm\sqrt{\frac14-b}$），也就是说存在 「一步都不动」的位置。

四个选项里 $b=\frac12$ 是唯一一个大于 $\frac14$ 的，$\frac14$、$-2$、$-4$ 全都 $\le\frac14$。 答案基本已经写在这一行上了，剩下的是把两边都做实。

还有一个能省力的观察：$a$ 只通过 $a_2=a^{2}+b$ 影响后面所有项，而 $a_2$ 的取值范围恰好是 $[\,b,+\infty)$（$a=0$ 时取到最小）。所以「对任意 $a$」等价于「对任意 $a_2\ge b$」—— 要找最难的起点，就取 $a=0$。

下面这张图把两条路各画一块：上块是 $b=\frac12$ 那一支（曲线整条在 $y=x$ 上方，梯子只能往上爬）， 下块是另外三支（曲线与 $y=x$ 有交点，交点处一钉就不动了）。

解法一：每步至少加 $\frac{1}{4}$，过 $1$ 之后靠平方滚上去

这条路只做一件事：取 $b=\frac12$，对任意 $a$ 把 $a_{10}$ 估到 $10$ 以上。选项 A 一旦证成， 单选题就结束了。

① 每一步至少加 $\frac14$。 把 $b=\frac12$ 代进冷启动那个配方：

$$a_{n+1}-a_n=\Bigl(a_n-\frac12\Bigr)^{2}+\frac14\ \ge\ \frac14>0 .$$

对任意 $a$、任意 $n$ 都成立，所以数列严格递增。注意这条只够慢慢爬： $a_{10}\ge a_2+8\times\frac14=a_2+2$，而 $a_2$ 只保证 $\ge\frac12$，加起来才 $\frac52$， 离 $10$ 还远——光靠线性的下界估不到 $10$，必须换武器。

② 起跑点：$a_2\ge\frac12$。 $a_2=a^{2}+\frac12\ge\frac12$，$a=0$ 时取等号。这一步就把「任意 $a$」 收成了「$a_2\ge\frac12$」。

③ 前三步用单调性逐层放。 记 $g(x)=x^{2}+\frac12$，它在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。 由 $a_2\ge\frac12>0$ 与 $g$ 递增，逐层代下去：

$$a_3=g(a_2)\ \ge\ g\Bigl(\frac12\Bigr)=\frac34,\qquad a_4=g(a_3)\ \ge\ g\Bigl(\frac34\Bigr)=\frac{9}{16}+\frac12=\frac{17}{16}>1 .$$

过 $1$ 了——这是整道题的分水岭。

④ 过 $1$ 之后改用平方。 $n\ge4$ 时 $a_n\ge\frac{17}{16}>1$，于是

$$a_{n+1}=a_n^{2}+\frac12>a_n^{2},$$

一层套一层：$a_5>a_4^{2}$，$a_6>a_4^{4}$，$a_7>a_4^{8}$，……，一般地 $a_{4+k}\ge\left(\frac{17}{16}\right)^{2^{k}}$。取 $k=6$：

$$a_{10}>\Bigl(\frac{17}{16}\Bigr)^{2^{6}}=\Bigl(1+\frac{1}{16}\Bigr)^{64}.$$

这一步只能在过 $1$ 之后用：$a_n<1$ 时平方是把数变小，那样放就把结论放丢了。

⑤ 用二项式定理估这个数。 不必真算 $\left(1+\frac1{16}\right)^{64}$，展开式的项全是正的， 取前三项就够（系数是组合数）：

$$\Bigl(1+\frac1{16}\Bigr)^{64} >1+\mathrm{C}_{64}^{1}\cdot\frac{1}{16}+\mathrm{C}_{64}^{2}\cdot\frac{1}{16^{2}} =1+4+\frac{2016}{256}=1+4+7.875>12 .$$

⑥ 收尾。 $a_{10}>12>10$，且这一串不等式对任意 $a$ 都成立，所以选项 A 正确。

⑦ 另一条收尾（图上画的就是这条）。 ②③ 那两步其实在说一件更强的事： $a_2(a)\ge a_2(0)$，而 $g$ 在 $[0,+\infty)$ 上递增，于是逐项归纳得 $a_n(a)\ge a_n(0)$——$a=0$ 那条轨道逐项最小。把它精确迭代出来：

$$0,\ \frac12,\ \frac34,\ \frac{17}{16},\ \frac{417}{256},\ \frac{206657}{65536},\ \dots \approx 0,\ 0.5,\ 0.75,\ 1.06,\ 1.63,\ 3.15,\ 10.44 .$$

第 $7$ 项就已经越过 $10$（$a_7\approx10.44$），而数列递增，故 $a_{10}>a_7>10$。 手算六次平方比估 $\left(\frac{17}{16}\right)^{64}$ 累一点，但一步都不放缩，心里更实—— 上幅图画的正是这条最小轨道，连「最窄的那道缝恰好被 $a_2=\frac12$ 踩上」都能看出来。

解法二：一条不动点判据，刷掉三个选项

这条路反过来走：不去证哪个选项对，而是给另外三个各造一个反例。

① 反例要造成什么样。 选项断言「对任意 $a$ 都有 $a_{10}>10$」， 所以只要造出一个 $a$ 使 $a_{10}\le10$，这个选项就倒了。最省力的 $a$ 是让数列一步都不动的那个： 若 $a$ 满足 $a^{2}+b=a$，则 $a_2=a$、$a_3=a$、……，整条数列恒等于 $a$， $a_{10}=a$ 一眼就能和 $10$ 比大小。这样的 $a$ 就是 $F(x)=x^{2}+b$ 的不动点。

② 判据：不动点存不存在。 解 $x^{2}+b=x$：

$$x^{2}-x+b=0\iff\Bigl(x-\frac12\Bigr)^{2}=\frac14-b .$$

于是 $b\le\frac14$ 有实不动点（$b=\frac14$ 时两根重合），$b>\frac14$ 一个都没有。 对着四个选项一看：$\frac14$、$-2$、$-4$ 全在「有」的那一侧，只有 $\frac12$ 在「没有」的那一侧。 判据是一条，刷掉的是三个。

③ 三个反例逐个写出来。

D 那一行值得多说一句：不动点是无理数，但根本不用把它开出来——常数列的每一项都等于它， 而 $\sqrt{17}<\sqrt{25}=5$ 给出 $\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}<3$，比 $10$ 小就够了。 （原卷 C 行的不动点被排版压成了「$\frac{\mathrm{ax}-1}{2}$」、D 行把两项位置写颠倒成 $\frac{\sqrt{17}}{2}\pm\frac12$，本站校订层的 note ③④ 各记了一笔；自己解一遍二次方程就不受影响。）

④ 剩下的那个就是答案。 三条倒了，四选一里只剩 A，故选 A。

⑤ 这一步不能省：排除法到 ④ 只证到了「必要」。 它说的是「若正确答案在选项里， 那只能是 A」，并没有正面证明 $b=\frac12$ 时 $a_{10}$ 真的大于 $10$。 $b=\frac12>\frac14$ 只推得出「没有不动点、每步至少加 $\frac14$、数列一路上升」， 而上升本身不保证在第 $10$ 项之前过线：光靠 $\frac14$ 的步长只给到 $a_{10}\ge a_2+2\ge\frac52$，$\frac52$ 与 $10$ 之间的那一段是空的。

顺带把「递增」这件事的另一种失败方式也看清——递增甚至可能永远过不了线： $b=\frac14$、$a=0$ 时

$$0,\ \frac14,\ \frac{5}{16},\ \frac{89}{256},\ \dots$$

严格递增，却永远到不了 $\frac12$（被自己的不动点顶住了）。$b=\frac12$ 这一支不会这样， 因为它的步长有正的下界 $\frac14$、迟早必然发散；但「迟早」不等于「第 $10$ 项之前」。 所以真要把 A 证实，还得回到解法一那样定量估一次。考场上单选题可以就此落笔，作为证明它是不完整的—— 这道分界线本站在套路/排除法里单独写过。

⑥ 顺手记住判据的图形版。 把 $y=x^{2}+b$ 与 $y=x$ 画在一起， 交点的横坐标就是不动点：$b>\frac14$ 时曲线整条悬在直线上方，最窄的那道缝宽 $b-\frac14$， 梯子只能往上爬（上幅图）；$b\le\frac14$ 时曲线与直线相切或相交，交点处一钉，数列就动不了（下幅图）。

避坑

再补三条只在这类题里管用的经验：

• 看见 $a_{n+1}=F(a_n)$ 而 $F$ 是二次的，先解 $F(x)=x$。 不动点是这类递推唯一「不算就知道全部项」 的入口，正面用（找边界、找收敛目标）反面用（造常数列反例）都靠它。
• 「对任意首项」型的选项，最难的起点通常在 $F$ 的最小值处。 本题 $a_2=a^{2}+b$ 在 $a=0$ 处最小， 于是「任意 $a$」被压成一条具体轨道，问题从两个自由参数降到一个。
• 估爆炸型的数列，分两段是常态：先用一个线性的步长下界把它顶过某个门槛（这里是 $1$）， 再用**平方（指数）**增长把它送上天。两段各有各的适用区间，混着用一定出错。