浙江 2019 · 数学 q10

题面

10. 设 $a, b \in R$，数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = a$，$a_{n+1} = a_n^2 + b$，$n \in N^*$，则（）
    A. 当 $b = \frac{1}{2}, a_{10} > 10$
    B. 当 $b = \frac{1}{4}, a_{10} > 10$
    C. 当 $b = -2, a_{10} > 10$
    D. 当 $b = -4, a_{10} > 10$

非选择题部分（共110分）

A. 当 $b = \frac{1}{2}, a_{10} > 10$ B. 当 $b = \frac{1}{4}, a_{10} > 10$ C. 当 $b = -2, a_{10} > 10$ D. 当 $b = -4, a_{10} > 10$

答案

A

解析

分析

本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.

选项 B：不动点满足 $x^{2}-x+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$ 时，如图，若 $a_{1}=a\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$ ， $a_{n}<\frac{1}{2}$ ，

排除

如图，若 $a$ 为不动点 $\frac{1}{2}$ 则 $a_{n} = \frac{1}{2}$

选项C：不动点满足 $x^{2} - x - 2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{9}{4} = 0$ ，不动点为 $\frac{\mathrm{ax} - 1}{2}$ ，令 $a = 2$ ，则 $a_{n} = 2 < 10$ 排除

选项D：不动点满足 $x^{2} - x - 4 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{17}{4} = 0$ ，不动点为 $x = \frac{\sqrt{17}}{2} \pm \frac{1}{2}$ ，令 $a = \frac{\sqrt{17}}{2} \pm \frac{1}{2}$ ，则$a_{n} = \frac{\sqrt{17}}{2}\pm \frac{1}{2} < 10$ ，排除.

选项A：证明：当 $b = \frac{1}{2}$ 时， $a_2 = a_1^2 +\frac{1}{2}\geq \frac{1}{2},\quad a_3 = a_2^2 +\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4},\quad a_4 = a_3^2 +\frac{1}{2}\geq \frac{17}{16}\geq 1,$

处理一：可依次迭代到 $a_{10}$ ;

处理二：当 $n \geq 4$ 时，$a_{n+1} = a_n^2 + \frac{1}{2} \geq a_n^2 \geq 1$，则则$a_{n + 1}\geq \left(\frac{17}{16}\right)^{2^{n - 1}} (n\geq 4)$ ，则 $a_{10}\geq \left(\frac{17}{16}\right)^{2^6} = \left(1 + \frac{1}{16}\right)^{64} = 1 + \frac{64}{16} +\frac{64\times 63}{2}\times \frac{1}{16^2} +\dots >1 + 4 + 7 > 10.$ 故选A

【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.

非选择题部分（共110分）