组合数上标数错一位

这个错的可怕之处不是难，是算完看不出毛病：$C_{10}^{2}=45$、$C_{10}^{3}=120$、$C_{10}^{4}=210$ 都是干干净净的整数，代回去也没有任何地方能自检。出题人知道这一点， 所以选择题里常常把 $C_{n}^{k-1}$ 与 $C_{n}^{k+1}$ 一起摆上去当干扰项。

三个常见的走岔口

① 「第几项」与「几次方」串线。 二项展开式的通项是

下标是 $k+1$（第几项），而 $b$ 的次数是 $k$——两者差 $1$。 问「$x^{3}$ 的系数」，要的是 $k=3$（也就是第 $4$ 项）； 顺手写成「第 $3$ 项」就变成 $k=2$，答案从 $C_{n}^{3}$ 滑到 $C_{n}^{2}$。

② 把「一共几项」当成次数。 像 $f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)$ 这样摆了四项的和， 它们的共同次数是 $3$（每一项都满足 $m+n=3$），不是 $4$。项数与次数没有关系。

③ 上下标写反或用了对称形。 教材写 $C_{n}^{m}$（下标是总数、上标是取的个数）， 有些资料写 $\binom{n}{m}$，还有 $C_{n}^{m}=C_{n}^{\,n-m}$ 这条对称性—— $C_{10}^{7}$ 与 $C_{10}^{3}$ 是同一个数 $120$，看见前者不必怀疑印错， 但自己写的时候只挑一种记法，别中途换。

怎么防

1. 把次数单独写在草稿上再动手：先写「要 $x^{3}$，所以取 $3$ 个 $x$」，再落笔 $C_{n}^{3}$。 先想「第几项」的人几乎一定会差一位。
2. 用小数验一次。同一条思路在 $n$ 很小的情形手算一遍： $(1+x)^{3}$ 里 $x^{2}$ 的系数是 $3$，而 $C_{3}^{2}=3$、$C_{3}^{1}=3$ 看不出差别， 那就换 $(1+x)^{4}$：$x^{2}$ 的系数是 $6=C_{4}^{2}$，$C_{4}^{1}=4$、$C_{4}^{3}=4$ 都不是——一次就分得开。
3. 看选项的形状。若三个干扰项里有两个正好是相邻的组合数，说明出题人就是在等这个错； 这时把上标再核一遍比重算一遍值钱。