浙江 2012 · 数学 q19

题面

19.（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量 $X$ 为取出此3球所得分数之和.

（I）求 X 的分布列；

（Ⅱ）求 $X$ 的数学期望 $E(X)$

抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分 14 分。

（I）由题意得 $X$ 取3，4，5，6，且

$P (X = 3) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{9}^{3}} = \frac{5}{4 2}, \quad P (X = 4) = \frac{C_{4}^{1} \cdot C_{5}^{2}}{C_{9}^{3}} = \frac{1 0}{2 1},$

$P (X = 5) = \frac{C_{4}^{2} \cdot C_{5}^{2}}{C_{9}^{3}} = \frac{5}{1 4}, \quad P (X = 6) = \frac{C_{4}^{4}}{C_{9}^{3}} = \frac{1}{2 1}.$

所以 $X$ 的分布列为

(II) 由 (I) 知

$E (X) = 3 \cdot P (X = 3) + 4 \cdot P (X = 4) + 5 \cdot P (X = 5) + 6 \cdot P (X = 6) = \frac{1 3}{3}.$