换基底后系数认错次数

易错点

同一个多项式，摆在不同的基底上就有不同的一组系数：

左边 $x^{3}$ 的系数是 $0$，右边 $(1+x)^{3}$ 的系数是 $10$。下标 $3$ 是同一个，配的东西不是同一个。

踩坑的两种典型走法：

• 看到「求 $a_3$」就去数原式里 $x^{3}$ 的系数——那答的是另一道题；
• 把两组系数混着用：比如先按 $(1+x)$ 的幂列出 $a_k$，中途又拿「$x^{4}$ 的系数为 $0$」 去约束 $a_4$。$a_4$ 只管 $(1+x)^{4}$，$x^{4}$ 的系数是 $\mathrm{C}_5^4a_5+a_4$ 这样一串的和。

怎么不踩

读题时把那句话在心里补全：「$a_3$ 是括号那一坨的三次方前面的数」。 再看一眼恒等式右边——$a_3$ 后面紧跟着的写的是什么，它就配什么。

自检

算完一个 $a_k$，代一个具体的 $x$ 验一次。 最省事的是代让括号为零的那个 $x$（这里是 $x=-1$）：右边只剩 $a_0$， 于是 $a_0=f(-1)$——若你算出来的 $a_0$ 与 $f(-1)$ 对不上，多半就是把两组系数弄混了。