展开式回到每个括号各取一项

套路说明

什么时候用：要某个乘积展开式里某一项的系数，而你不想（或来不及）背通项公式； 或者题目里的括号不止两项、各括号还不一样，通项公式根本套不上。

三步：

1. 把幂写回连乘。$(A+B)^{n}$ 是 $n$ 个一模一样的括号相乘；乘法分配律说： 展开的结果就是「每个括号里各取一个加数，相乘，然后把所有取法加起来」，一共 $2^{n}$ 种取法。
2. 按「取了几个 $B$」分类。取了 $r$ 个 $B$（于是取了 $n-r$ 个 $A$）的那些取法， 乘出来的都是同一个 $A^{\,n-r}B^{\,r}$；这样的取法有多少种，就看从 $n$ 个括号里挑 $r$ 个 有多少种挑法——$\binom{n}{r}$ 种。
3. 合并同类项，得 $\displaystyle(A+B)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}A^{\,n-r}B^{\,r}$。

它解释了什么

• 组合数是从哪来的：$\binom{n}{r}$ 不是公式里凭空出现的记号，就是「挑哪几个括号出 $B$」的种数。
• 符号从哪来：$B$ 本身带负号（如 $B=-\frac1x$）时，取了 $r$ 个 $B$ 就带 $r$ 个负号， 于是系数里自然长出 $(-1)^{r}$——不是额外要记的一条规则。
• 为什么 $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$：挑出「哪几个出 $B$」与挑出「哪几个出 $A$」是同一件事。

能走多远

括号互不相同也照走：$(1+x)(2+x)(3+x)$ 里 $x^{2}$ 的系数，就是「三个括号里恰好两个出 $x$」的 全部取法之和 $1+2+3=6$。三项以上的括号同样只是「每个括号里各取一个」， $(A+B+C)^{n}$ 里 $A^{i}B^{j}C^{k}$（$i+j+k=n$）的系数是 $\dfrac{n!}{i!\,j!\,k!}$—— 同一句话，只是分类分得细一点。

边界

• 只在「乘积展开」上成立。$(A+B)^{n}$ 里那个 $n$ 必须是正整数， 分数指数、负指数的展开是另一回事（无穷级数）。
• 数取法时别把括号当成可区分之外的东西：$n$ 个括号是有位置的， 所以「挑哪几个」用组合数；若把它们当成不可区分的，就会把 $\binom{n}{r}$ 错数成 $1$。