负指数提到括号外

套路说明

什么时候用：要展开或分析 $\left(x^{a}\pm\dfrac{1}{x^{b}}\right)^{n}$ 这类带负指数的幂， 而你关心的是某一项的系数、常数项、项数、有理项……

怎么做，两步：

1. 括号里通分。把 $x^{a}\pm x^{-b}$ 按 $x^{-b}$ 提公因式：

   $$x^{a}\pm x^{-b}=x^{-b}\left(x^{a+b}\pm 1\right) .$$

2. 整个括号一起取 $n$ 次幂，前面那块跟着变成一个单独的因子：

   $$\left(x^{a}\pm x^{-b}\right)^{n}=x^{-nb}\left(x^{a+b}\pm 1\right)^{n} .$$

括号里现在是最干净的形状：$\left(y\pm1\right)^{n}$，展开的每一项都是 $\pm\binom{n}{k}y^{k}$。

怎么回读：原式里 $x^{m}$ 的系数，等于 $\left(x^{a+b}\pm1\right)^{n}$ 里 $x^{\,m+nb}$ 的系数—— 指数整体平移 $nb$，系数一个不改。

为什么比硬套通项省事

带负指数时，通项里的指数是 $a(n-r)-br$ 这样两头都在动的式子，写错一个符号就全盘皆错； 提出去之后括号里只剩一个字母的整数次幂，指数是 $(a+b)k$，单调、非负、间隔固定， 心算就能数清楚哪些项存在、一共几项。

边界

• 提出来的 $x^{-nb}$ 不能丢：它只是一个因子，最后回读指数时必须补回去。
• 括号里若有三项以上（如 $x^{2}-\frac{1}{x}+1$），这一步仍然做得动（提最低次幂）， 但括号里得到的是普通多项式，展开要用多项式定理而不是二项式定理。
• 只在幂的底数上做这件事。$\left(x^{2}-\frac1x\right)^{5}+\left(x+\frac1x\right)^{3}$ 这种和式，两个括号各提各的，别把公因式跨着加号提。