按谁的幂展开就换谁作元

解题套路

看到目标形如

三步：

1. 认出基底。括号里那一整块就是新元。$(x-a)$ 的 $a$ 是让括号为零的那个数—— 写成 $(1+x)$ 时括号为零处是 $x=-1$，所以 $a=-1$，新元是 $t=x+1$。
2. 令 $t=x-a$，回代 $x=t+a$。原来的 $f$ 变成一个关于 $t$ 的表达式， 把它按 $t$ 的幂展开（多半就是一次二项式定理）。
3. 读系数。$t^{k}$ 前面那个数就是 $a_k$，问哪个取哪个，其余的不必算。

为什么这一步是白送的

$\{1,\,(x-a),\,(x-a)^2,\dots,(x-a)^n\}$ 与 $\{1,x,x^2,\dots,x^n\}$ 都是 $n$ 次多项式空间的基底， 两者只差一次平移。所以

• 表示一定存在（任何 $n$ 次多项式都写得出来），
• 而且唯一——同一个 $f$ 不可能有两组不同的 $a_k$。

唯一性这一句看着废话，其实很要紧：它保证三条路算出来的必然是同一组数—— 换元、逐层比系数、对恒等式求导，谁先算完都行，彼此还能互验。

它就是「在 $x=a$ 处展开」

把 $x=a$ 代进目标式，除 $a_0$ 外每一项都带 $(x-a)$ 的正次幂而归零，于是 $a_0=f(a)$； 求一次导再代 $x=a$ 得 $a_1=f'(a)$；一般地 $a_k=\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}$。 换句话说，「按 $(x-a)$ 的幂重排」与「在 $x=a$ 处展开」是同一件事的两种说法—— 这也解释了为什么对恒等式求导再代值那条路一定能给出同样的系数。

常见失手

• 符号搞反。$(1+x)$ 对应 $t=x+1$、$x=t-1$；顺手写成 $x=t+1$ 就全错。 验一下最省事：新元为零时原变量应当等于 $a$。
• 只换了一半。$f$ 里别处的 $x$ 也要一并换成 $t+a$，不能留一个没换。
• 把 $a_k$ 当成 $x^{k}$ 的系数。$a_k$ 配的是 $(x-a)^{k}$，两组系数完全是两回事。