从最高次往下逐层定系数

解题套路

设未知系数 $a_0,\dots,a_n$，把恒等式两边同次幂的系数对齐，得到一组方程。 当这组方程是三角的（第 $m$ 层只牵涉 $a_m,a_{m+1},\dots,a_n$），就不要联立：

1. 从最高次那一层开始。它只有一个未知数，直接读出。
2. 往下一层。把上面已定的代进去，这一层仍只剩一个未知数。
3. 够到目标就停。要 $a_j$ 就做到第 $j$ 层为止，$a_0,\dots,a_{j-1}$ 不必算。

怎么看出是三角的

关键是问一句：哪些未知数会供货给 $x^{m}$ 这一项？

• 目标写成 $\sum a_k(x-a)^{k}$ 时，$(x-a)^{k}$ 展开后最高只有 $x^{k}$， 所以 $x^{m}$ 只能由 $k\ge m$ 的那些 $a_k$ 供货——下标小的供不了高次，正是上三角；
• 多项式除法、部分分式、线性递推里也常出现同一种结构。

第 $m$ 层的方程长这样（以 $\sum a_k(1+x)^{k}$ 为例）：

其中 $a_m$ 的系数是 $\mathrm{C}_m^m=1$，所以每一层都是一元一次，移项就得。

与「换元」比

换元一步到位、更快；逐层比系数慢但不需要看穿结构，而且它把每个系数的来源摊开， 容易查错。两条路算出的必须逐项相同——这本身就是一次交叉验证。

自检

解到第 $j$ 层就停时，别忘了这只是部分答案。若要确认整组系数没错， 把它们回乘一遍（$\sum a_k(x-a)^{k}$ 展开），结果必须逐项等于原来的 $f$。