3.1.2 椭圆的简单几何性质

文字转写

$k _ {A M} = \frac {y}{x + 5} (x \neq - 5).$

同理，直线 $BM$ 的斜率

$k _ {B M} = \frac {y}{x - 5} (x \neq 5).$

由已知，有

$\frac {y}{x + 5} \times \frac {y}{x - 5} = - \frac {4}{9} (x \neq \pm 5),$

化简，得点 M 的轨迹方程为

运用信息技术，可以探究点 M 的轨迹形状.

$\frac {x ^ {2}}{2 5} + \frac {y ^ {2}}{\frac {1 0 0}{9}} = 1 (x \neq \pm 5).$

点 M 的轨迹是除去 $(-5, 0)$ ， $(5, 0)$ 两点的椭圆.

练习

1. 如果椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 上一点 P 与焦点 $F_{1}$ 的距离等于 6，那么点 P 与另一个焦点 $F_{2}$ 的距离是 ____.

2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) a=4, b=1, 焦点在 x 轴上;

(2) $a = 4, c = \sqrt{15}$, 焦点在 $y$ 轴上;

(3) $a + b = 10$ , $c = 2\sqrt{5}$ .

3. 经过椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $AB$，交椭圆于 $A$，$B$ 两点，$F_{1}$ 是椭圆的左焦点.

(1) 求 $\triangle AF_{1}B$ 的周长；

(2) 如果 AB 不垂直于 x 轴， $\triangle AF_{1}B$ 的周长有变化吗？为什么？

4. 已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(-1, 0), (1, 0)$，直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$，且直线 $AM$ 的斜率与直线 $BM$ 的斜率的商是 2，点 $M$ 的轨迹是什么？为什么？

3.1.2 椭圆的简单几何性质

与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.

下面，我们用椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad(a>b>0)$ 来研究椭圆的几何性质.

● ●

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置。所以，本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究它们的几何性质。

观察

观察椭圆 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

1. 范围

思考

观察图 3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？

由方程 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$ ，可知

$\frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 - \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} \geqslant 0,$

所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式

即

同理有

$\begin{array}{r l} & \frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} \leqslant 1, \\ & - a \leqslant x \leqslant a. \\ & \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} \leqslant 1, \\ & - b \leqslant y \leqslant b. \end{array}$

即

这说明椭圆位于直线 $x = \pm a$ 和 $y = \pm b$ 围成的矩形框里（图3.1-7）.

• •

用代数方法研究曲线的范围，就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围.

2. 对称性

探究

观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用方程说明椭圆的对称性？

在椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1(a > b > 0)$ 中，以一 $y$ 代 $y$ ，方程不变．这说明当点$P(x,y)$ 在椭圆上时，它关于 $x$ 轴的对称点 $P_{1}(x, - y)$ 也在椭圆上，所以椭圆关于 $x$ 轴对称．同理，以一 $x$ 代 $x$ ，方程也不变，这说明如果点 $P(x,y)$ 在椭圆上，那么它关于 $y$ 轴的对称点 $P_{2}(-x,y)$ 也在椭圆上，所以椭圆关于 $y$ 轴对称．以一 $x$ 代 $x$ ，以一 $y$ 代 $y$方程也不变，这说明当点 $P(x, y)$ 在椭圆上时，它关于原点的对称点 $P_{3}(-x, -y)$ 也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.

综上，椭圆关于 $x$ 轴、 $y$ 轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

3. 顶点

研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置.

思考

你认为椭圆 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？

在椭圆的标准方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad(a>b>0)$ 中，令x=0，得 $y=\pm b$ 。因此 $B_{1}(0,-b)$ ， $B_{2}(0,b)$ 是椭圆与y轴的两个交点。同理，令y=0，得 $x=\pm a$ 。因此 $A_{1}(-a,0)$ ， $A_{2}(a,0)$ 是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点（图3.1-8）。

线段 $A_{1}A_{2}$ ， $B_{1}B_{2}$ 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于 $2a$ 和 $2b$ ， $a$ 和 $b$ 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

4. 离心率

思考

观察图 3.1-9，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同。扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？

如图3.1-10，椭圆 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的长半轴长为$a$ ，半焦距为 $c$ .利用信息技术，保持长半轴长 $a$ 不变，改变椭圆的半焦距 $c$ ，可以发现， $c$ 越接近 $a$ ，椭圆越扁平．类似地，保持 $c$ 不变，改变 $a$ 的大小，则 $a$ 越接近 $c$ ，椭圆越扁平；而当 $a$ ， $c$ 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.

这样，利用 $c$ 和 $a$ 这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.

我们把椭圆的焦距与长轴长的比 $\frac{c}{a}$ 称为椭圆的离心率 $^{①}$ ，用e表示，即 $e=\frac{c}{a}$ .

因为 $a > c > 0$ ，所以 $0 < e < 1$ . $e$ 越接近1， $c$ 越接近 $a$ ，$b = \sqrt{a^2 - c^2}$ 就越小，因此椭圆越扁平；反之， $e$ 越接近0， $c$ 越接近0， $b$ 越接近 $a$ ，这时椭圆就越接近于圆.

你能运用三角函数的知识解释，为什么 $e=\frac{c}{a}$ 越大，椭圆越扁平？ $e=\frac{c}{a}$ 越小，椭圆越接近于圆吗？

当且仅当 $a = b$ 时， $c = 0$ ，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为

$x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}.$

例 4 求椭圆 $16x^{2}+25y^{2}=400$ 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

解：把原方程化成标准方程，得

$\frac {x ^ {2}}{5 ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{4 ^ {2}} = 1,$

于是 a=5, b=4, $c=\sqrt{25-16}=3$ .

因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 $2a = 10$ 和 $2b = 8$ ，离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5}$ ，两个焦点坐标分别是 $F_{1}(-3,0)$ 和 $F_{2}(3,0)$ ，四个顶点坐标分别是 $A_{1}(-5,0)$ ， $A_{2}(5,0)$ ，$B_{1}(0, - 4)$ 和 $B_{2}(0,4)$

练习

1. 你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？

2. 求下列椭圆的焦点坐标： (1) $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1;$

(2) $2x^{2}+y^{2}=8.$

3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 焦点在 x 轴上，a=6， $e=\frac{1}{3}$ ；(2) 焦点在 y 轴上，c=3， $e=\frac{3}{5}$ .

(第1题)

4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 经过 $P(-3, 0)$ ， $Q(0, -2)$ 两点； (2) 长轴长等于 20，离心率等于 $\frac{3}{5}$ .

5. 比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ (1) $9x^{2} + y^{2} = 36$ 与 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ; (2) $x^{2} + 9y^{2} = 36$ 与 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ .

① 随着学习的深入你将体会到，虽然 $\frac{b}{a}$ 也能刻画椭圆的扁平程度，但 $\frac{c}{a}$ 中a，c是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性.

例 5 如图 3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_{1}$ 上，片门位于另一个焦点 $F_{2}$ 上。由椭圆一个焦点 $F_{1}$ 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_{2}$ 。已知 $BC \perp F_{1}F_{2}$ ， $|F_{1}B| = 2.8 \, cm$ ， $|F_{1}F_{2}| = 4.5 \, cm$ 。试建立适当的平面直角坐标系，求截口 BAC 所在椭圆的方程（精确到 0.1 cm）。

解：建立如图 3.1-11 所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为

$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > b > 0).$

在 $\mathrm{Rt}\triangle BF_1F_2$ 中，

$\mid F _ {2} B \mid = \sqrt {\mid F _ {1} B \mid^ {2} + \mid F _ {1} F _ {2} \mid^ {2}} = \sqrt {2 . 8 ^ {2} + 4 . 5 ^ {2}}.$

由椭圆的性质知， $|F_{1}B| + |F_{2}B| = 2a$ ，所以

$a = \frac {1}{2} (| F _ {1} B | + | F _ {2} B |) = \frac {1}{2} (2. 8 + \sqrt {2 . 8 ^ {2} + 4 . 5 ^ {2}}) \approx 4. 1;$

$b = \sqrt {a ^ {2} - c ^ {2}} = \sqrt {4 . 1 ^ {2} - 2 . 2 5 ^ {2}} \approx 3. 4.$

所以，所求的椭圆方程为

$\frac {x ^ {2}}{4 . 1 ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{3 . 4 ^ {2}} = 1.$

例6 动点 $M(x, y)$ 与定点 $F(4, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l: x = \frac{25}{4}$ 的距离的比是常数 $\frac{4}{5}$，求动点 $M$ 的轨迹.

解：如图3.1-12，设 $d$ 是点 $M$ 到直线 $l: x = \frac{25}{4}$ 的距离，根据题意，动点 $M$ 的轨迹就是集合

$P = \left\{M \left| \frac {| M F |}{d} = \frac {4}{5} \right. \right\}.$

由此得

$\frac {\sqrt {(x - 4) ^ {2} + y ^ {2}}}{\left| \frac {2 5}{4} - x \right|} = \frac {4}{5}.$

将上式两边平方，并化简，得

$9 x ^ {2} + 2 5 y ^ {2} = 2 2 5,$

即

$\frac {x ^ {2}}{2 5} + \frac {y ^ {2}}{9} = 1.$

所以，点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为 10，6 的椭圆.

例 7 如图 3.1-13，已知直线 $l: 4x - 5y + m = 0$ 和椭圆 $C: \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ . m 为何值时，直线 l 与椭圆 C：（1）有两个公共点？（2）有且只有一个公共点？（3）没有公共点？

分析：直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的公共点的个数与方程组

$\left\{ \begin{array}{l} 4 x - 5 y + m = 0, \\ \frac {x ^ {2}}{2 5} + \frac {y ^ {2}}{9} = 1 \end{array} \right.$

图3.1-13

解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答.

解：由方程组

$\left\{ \begin{array}{l} 4 x - 5 y + m = 0, \\ \frac {x ^ {2}}{2 5} + \frac {y ^ {2}}{9} = 1 \end{array} \right.$

消去 $y$ ，得

2 5 x ^ {2} + 8 m x + m ^ {2} - 2 2 5 = 0.\tag{①}

方程①的根的判别式

$\Delta = 6 4 m ^ {2} - 4 \times 2 5 \times (m ^ {2} - 2 2 5) = 3 6 \times (2 5 ^ {2} - m ^ {2}).$

由 $\Delta > 0$，得 $-25 < m < 25$。此时方程①有两个不相等的实数根，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有两个不同的公共点。

由 $\Delta = 0$ ，得 $m_{1} = 25$ ， $m_{2} = -25$ .此时方程①有两个相等的实数根，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点.

由 $\Delta < 0$ ，得 $m < -25$ ，或 $m > 25$ .此时方程①没有实数根，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 没有公共点.

练习

1. 求下列直线与椭圆的交点坐标：

(1) $3x + 10y - 25 = 0, \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{4} = 1;$ (2) $3x - y + 2 = 0, \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1.$

2. 经过椭圆 $\frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 的左焦点 $F_{1}$ 作倾斜角为 $60^{\circ}$ 的直线 $l$，直线 $l$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，求线段 $AB$ 的长.

复习巩固

1. 如果点 $M(x, y)$ 在运动过程中，总满足关系式

$\sqrt {x ^ {2} + (y - 3) ^ {2}} + \sqrt {x ^ {2} + (y + 3) ^ {2}} = 1 0,$

那么点 M 的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.

2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) 焦点坐标分别为 $(0, -4)$ ， $(0, 4)$ ，a = 5；

(2) $a+c=10,\ a-c=4.$

3. 求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形： (1) $x^{2} + 4y^{2} = 16$ ; (2) $9x^{2} + y^{2} = 81$ .

4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1) 经过 $P(-2\sqrt{2}, 0)$ , $Q(0, \sqrt{5})$ 两点；

(2) 长轴长是短轴长的 3 倍，且经过点 $P(3,0)$ ;

(3) 焦距是 8，离心率等于 0.8.

5. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上的一点，且以点 $P$ 及焦点 $F_1, F_2$ 为顶点的三角形的面积等于1，求点 $P$ 的坐标.

6. 如图，圆 $O$ 的半径为定长 $r$，$A$ 是圆 $O$ 内一个定点，$P$ 是圆 $O$ 上任意一点。线段 $AP$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $OP$ 相交于点 $Q$，当点 $P$ 在圆上运动时，点 $Q$ 的轨迹是什么？为什么？

7. 彗星 “紫金山一号” 是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心 1.486 天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心 5.563 天文单位（1 天文单位是太阳到地球的平均距离，约 $1.5 \times 10^{8}$ km），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程。

8. 点 $M$ 与定点 $F(2,0)$ 的距离和它到定直线 $x = 8$ 的距离的比是 $1:2$，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.

综合运用

9. 如图， $DP \perp x$ 轴，垂足为 $D$，点 $M$ 在 $DP$ 的延长线上，且 $\frac{|DM|}{|DP|} = \frac{3}{2}$。当点 $P$ 在圆 $x^2 + y^2 = 4$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹方程，并说明轨迹的形状。

10. 一动圆与圆 $x^{2} + y^{2} + 6x + 5 = 0$ 外切，同时与圆 $x^{2} + y^{2} - 6x - 91 = 0$ 内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

11. 如图，矩形 ABCD 中， $|AB|=2a$ ， $|BC|=2b\quad(a>b>0)$ 。E，F，G，H 分别是矩形四条边的中点，R，S，T 是线段 OF 的四等分点， $R'$ ， $S'$ ， $T'$ 是线段 CF 的四等分点。证明直线 ER 与 $GR'$ 、ES 与 $GS'$ 、ET 与 $GT'$ 的交点 L，M，N 都在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\quad(a>b>0)$ 上。

12. 已知地球运行的轨道是长半轴长 $a = 1.50 \times 10^{8} \mathrm{~km}$，离心率 $e = 0.0192$ 的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离.

拓广探索

13. 已知椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$，直线 $l: 4x - 5y + 40 = 0$。椭圆上是否存在一点，使得：

(1) 它到直线 l 的距离最小？最小距离是多少？

(2) 它到直线 l 的距离最大？最大距离是多少？

14. 已知椭圆 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$，一组平行直线的斜率是 $\frac{3}{2}$.

(1) 这组直线何时与椭圆有两个公共点?

(2) 当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.

信息技术应用

用信息技术探究点的轨迹：椭圆

如图1，F 是定点，l 是不经过点 F 的定直线，动点 M 与定点 F 的距离和 M 到定直线 l 的距离的比 e 是小于 1 的常数。用信息技术软件（如《GeoGebra》）画出动点 M 的轨迹，观察这个轨迹，可以发现它是一个椭圆。

在 $0 < e < 1$ 的范围内，改变 $e$ 的大小，或改变点 $F$ 与直线 $l$ 的相对位置，可以发现动点 $M$ 的轨迹仍然是一个椭圆.

在平面直角坐标系中，我们可以把上述问题叙述为：

若点 $M(x, y)$ 与定点 $F(c, 0)$ （或 $F'(-c, 0)$）的距离和它到定直线 $l: x = \frac{a^2}{c}$（或 $l'$: $x = -\frac{a^2}{c}$）的距离的比是常数 $\frac{c}{a} (0 < c < a)$，则点 $M$ 的轨迹是一个椭圆（图2），这是从另一个角度给出了椭圆的定义。这里定点 $F(c, 0)$ 是椭圆的一个焦点，直线 $l: x = \frac{a^2}{c}$ 称为相应于焦点 $F$ 的准线；定点 $F'(-c, 0)$ 是椭圆的另一个焦点，直线 $l'$: $x = -\frac{a^2}{c}$ 称为相应于焦点 $F'$ 的准线。

在推导椭圆标准方程时，我们曾得到

a ^ {2} - c x = a \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}}.\tag{①}

如果把①式变形为

\frac {\sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}}}{\frac {a ^ {2}}{c} - x} = \frac {c}{a},\tag{②}

则②式的几何意义就是动点 $M(x, y)$ 与定点 $F(c, 0)$ 的距离和动点 $M$ 到定直线 $l: x = \frac{a^2}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a}$.

思考：在推导椭圆标准方程时作怎样的变形就可以得到点 $M(x, y)$ 与定点 $F(-c, 0)$ 的距离和动点 $M$ 到定直线 $l'$ ： $x = -\frac{a^2}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a}$ ?

对上述过程你有什么体会？