浙江 2025 · 数学 q18

读题：三小问是一条链

假设你刚学完椭圆。这道题看着长，其实是一条链，后一问全靠前一问的产物：

• (1) 把椭圆的方程定下来——不定出来，后面两问连点的坐标都写不了；
• (2)(i) 把点 $R$ 用 $P$ 的坐标 $(m,n)$ 表示出来；
• (2)(ii) 拿 (i) 的结果去翻译条件「$k_{OR}=3k_{OP}$」，会撞出一个意外的收获：$P$ 只能待在一个圆上。于是问题变成「圆上一点与椭圆上一点最远能隔多远」。

所以 (i) 不是一道送分的填空，它是 (ii) 的原料。

第一步：由基本量定出椭圆（两条路共用）

怎么想到的。 题目给的两个条件（离心率 $\dfrac{2\sqrt2}{3}$、$|AB|=\sqrt{10}$）都不是「方程里的系数」，得先翻译成 $a,b$ 的等式。这就是基本量法：椭圆里的每一个几何条件，统统翻成基本量 $a,b,c$ 的关系，再解方程。

先把 $A,B$ 的坐标读出来。 标准方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$ 的四个顶点是 $(\pm a,0)$ 与 $(0,\pm b)$，所以下顶点是 $A(0,-b)$、右顶点是 $B(a,0)$。这两点一横一竖，$|AB|$ 就是直角边为 $a$ 与 $b$ 的斜边：

$$|AB|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}\ \Longrightarrow\ a^2+b^2=10$$

再翻译离心率。 椭圆的三个基本量满足 $a^2=b^2+c^2$，而 $e=\dfrac{c}{a}$。把前式两边同除以 $a^2$，就得到只含比值的一句话（这就是椭圆的离心率那条公式的用法）：

$$e^2=\frac{c^2}{a^2}=1-\frac{b^2}{a^2}=\left(\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2=\frac89\ \Longrightarrow\ \frac{b^2}{a^2}=\frac19\ \Longrightarrow\ a^2=9b^2$$

代进 $a^2+b^2=10$ 得 $10b^2=10$，故 $b^2=1$、$a^2=9$：

$$C:\ \frac{x^2}{9}+y^2=1$$

顺手记下后面一直要用的两件事：$A(0,-1)$；椭圆上的点满足 $x^2=9-9y^2$，且 $-1\le y\le 1$。

关键一步：把 R 钉死需要两句话

第 (2) 问的条件只有两句：

$R$ 在射线 $AP$ 上（这管方向），$|AR|\cdot|AP|=3$（这管长度）。

「在射线 $AP$ 上」说的是 $A,R,P$ 共线、且 $R$ 与 $P$ 在 $A$ 的同一侧；「乘积等于 $3$」说的是 $R$ 离 $A$ 有多远。方向定出一条射线，长度在这条射线上定出唯一一点——两句话恰好把 $R$ 钉死，所以 (i) 一定做得出来。

难处在于：「共线」这件事有两种写法，而选哪一种，决定了后面算式的丑俗程度。

• 写成斜率相等 $k_{AR}=k_{AP}$——最直觉，是解法一；
• 写成向量成倍数 $\overrightarrow{AR}=\lambda\overrightarrow{AP}$——它顺手把长度条件一起吞掉，是解法二。

两条路都要用到 $m\neq0$：题面那句「$P$ 不在 $y$ 轴上」给的就是这个（否则 $k_{AP}$、$k_{OP}$ 都写不出来）。

解法一：斜率与距离硬解坐标

怎么想到的。 设 $R(x_0,y_0)$，把上面两句条件各写成一个方程，然后把 $x_0,y_0$ 解出来。这是最不需要灵感的做法——条件有几句就列几个方程，未知数有两个、方程正好两个。

① 共线 → 斜率相等。 因为 $A(0,-1)$，

$$k_{AP}=\frac{n+1}{m},\qquad k_{AR}=\frac{y_0+1}{x_0}\ \Longrightarrow\ \frac{y_0+1}{x_0}=\frac{n+1}{m}$$

「射线」还多给一句：$R$ 与 $P$ 在 $A$ 的同侧，横坐标同号，即 $mx_0>0$（顺带说明 $x_0\neq0$，上面那个分式才写得出来）。这句话待会儿救命。

② 长度 → 距离乘积。 两段距离都从 $A$ 量起：

$$|AR|=\sqrt{x_0^2+(y_0+1)^2},\qquad |AP|=\sqrt{m^2+(n+1)^2}$$

关键的一手是用 ① 把 $y_0+1$ 换掉（$y_0+1=\dfrac{(n+1)x_0}{m}$），让第一个根号里只剩 $x_0$：

$$|AR|=\sqrt{x_0^2\left[1+\left(\frac{n+1}{m}\right)^2\right]}=\left|x_0\right|\sqrt{1+\left(\frac{n+1}{m}\right)^2}$$

同理把 $|AP|$ 也提出一个 $|m|$：$|AP|=\left|m\right|\sqrt{1+\left(\dfrac{n+1}{m}\right)^2}$。两个根号长得一模一样，相乘之后根号整体消失，只留下括号里那一坨的一次方；而 $\left|x_0\right|\cdot\left|m\right|=x_0m$（这正是 $mx_0>0$ 的用处，不必分正负讨论）：

$$\left[1+\left(\frac{n+1}{m}\right)^2\right]x_0m=3$$

括号里通分成 $\dfrac{m^2+(n+1)^2}{m^2}$，与外面的 $x_0m$ 约掉一个 $m$：

$$\frac{\left[m^2+(n+1)^2\right]x_0}{m}=3\ \Longrightarrow\ x_0=\frac{3m}{m^2+(n+1)^2}$$

③ 回代求 $y_0$。 由 ①：

$$y_0=-1+\frac{(n+1)x_0}{m}=-1+\frac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}=\frac{3n+3-\left[m^2+(n+1)^2\right]}{m^2+(n+1)^2}=\frac{n+2-m^2-n^2}{m^2+(n+1)^2}$$

故

$$R\left(\frac{3m}{m^2+(n+1)^2},\ \frac{n+2-m^2-n^2}{m^2+(n+1)^2}\right)$$

④ 顺着这个坐标做 (ii)。 两个坐标的分母一样，相除时直接约掉：

$$k_{OR}=\frac{y_0}{x_0}=\frac{n+2-m^2-n^2}{3m},\qquad k_{OP}=\frac{n}{m}$$

条件 $k_{OR}=3k_{OP}$ 就是 $\dfrac{n+2-m^2-n^2}{3m}=\dfrac{3n}{m}$。两边乘 $3m$（$m\neq0$）：

$$n+2-m^2-n^2=9n\ \Longrightarrow\ m^2+n^2+8n-2=0\ \Longrightarrow\ m^2+(n+4)^2=18$$

解法二：向量共线数乘

怎么想到的。 上一条路最难看的一步，是把 $|AR|$ 从根号里剥出来。根号是哪来的？因为我们先写坐标、再算长度。把次序换过来：先把「$R$ 在射线 $AP$ 上」写成一个数乘，长度就跟着倍数走，根号根本不出场。

「$R$ 在射线 $AP$ 上」等价于

$$\overrightarrow{AR}=\lambda\,\overrightarrow{AP},\qquad \lambda>0$$

（$\lambda>0$ 就是「射线」这两个字；允许 $\lambda<0$ 才是整条直线。）数乘只把向量拉长 $\lambda$ 倍、不改方向，所以 $|AR|=\lambda|AP|$，长度条件立刻塌成一个一元方程：

$$|AR|\cdot|AP|=\lambda\,|AP|^2=3\ \Longrightarrow\ \lambda=\frac{3}{|AP|^2}=\frac{3}{m^2+(n+1)^2}$$

这里用的是向量的坐标运算里两条最基本的：终点坐标减起点坐标给出 $\overrightarrow{AP}=(m-0,\ n-(-1))=(m,n+1)$，模长平方等于两个坐标的平方和给出 $|AP|^2=m^2+(n+1)^2$——只用到平方，所以从头到尾没有根号。

接着把向量坐标化，$R$ 的坐标直接读出来（$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OA}+\lambda\overrightarrow{AP}$）：

$$R=(0,-1)+\lambda(m,n+1)=\big(\lambda m,\ -1+\lambda(n+1)\big)$$

代入 $\lambda=\dfrac{3}{m^2+(n+1)^2}$：第一个坐标就是 $\dfrac{3m}{m^2+(n+1)^2}$；第二个通分之后与解法一那一串逐字相同：

$$-1+\frac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}=\frac{n+2-m^2-n^2}{m^2+(n+1)^2}$$

这条路真正的红利在 (ii)。 别急着通分——就带着 $\lambda$ 去算斜率：

$$k_{OR}=\frac{-1+\lambda(n+1)}{\lambda m},\qquad k_{OP}=\frac{n}{m}$$

条件 $k_{OR}=3k_{OP}$ 两边同乘 $\lambda m$，右边的 $m$ 与它约掉：

$$-1+\lambda(n+1)=3n\lambda\ \Longrightarrow\ \lambda\,(1-2n)=1$$

一整问的条件被压成了这一句。 把 $\lambda=\dfrac{3}{m^2+(n+1)^2}$ 代回去：

$$\frac{3}{m^2+(n+1)^2}=\frac{1}{1-2n}\ \Longrightarrow\ m^2+(n+1)^2=3(1-2n)$$

展开整理 $m^2+n^2+2n+1=3-6n$，即

$$m^2+n^2+8n-2=0\ \Longrightarrow\ m^2+(n+4)^2=18$$

与解法一同一个结论，但全程没出现过分式套分式。还白拿一个信息：$\lambda>0$ 逼着 $1-2n>0$，即 $n<\dfrac12$——下面会看到 $P$ 的纵坐标最高只到 $-4+3\sqrt2\approx0.24$，这个限制自动满足，不必额外验。

合流：P 在一个圆上，最远的 |PM| 怎么求

两条路都走到同一个式子：

$$m^2+(n+4)^2=18$$

把它读出来。 这是圆的标准方程：$P(m,n)$ 到定点 $N(0,-4)$ 的距离恒为 $\sqrt{18}=3\sqrt2$。也就是说，那个看起来自由的动点 $P$ 只能待在一个圆上——圆心 $N(0,-4)$、半径 $3\sqrt2$（并且要挖掉 $m=0$ 的两个点 $\left(0,-4\pm3\sqrt2\right)$，因为 $P$ 不在 $y$ 轴上）。这是本题最大的一次转折：条件「$k_{OR}=3k_{OP}$」表面上在说斜率，实质上是一条轨迹。

两个点都在动，怎么下手。 现在 $P$ 在圆上跑、$M$ 在椭圆上跑，$|PM|$ 有两个自由度，没法直接求最值。诀窍是把圆心请进来当中转站：对任意三点，两段折线不短于直线，

$$|PM|\le |PN|+|NM|=3\sqrt2+|NM|$$

等号当且仅当 $N$ 落在线段 $PM$ 上。$|PN|$ 是常数（半径），于是两个自由度塌成一个：只要求出 $M$ 到圆心 $N$ 的最远距离，再加上半径。

求 $|MN|$ 的最大值（$|NM|$ 与 $|MN|$ 是同一段）——这一步用椭圆参数方程求最值。把椭圆上的点写成 $M(3\cos\varphi,\ \sin\varphi)$（代进 $\dfrac{x^2}{9}+y^2=1$ 恒成立，所以这样写不丢点也不多点）：

$$|MN|^2=9\cos^2\varphi+(\sin\varphi+4)^2$$

用 $\cos^2\varphi=1-\sin^2\varphi$ 把它化成只含 $\sin\varphi$ 的二次式——这是整个套路的目的：

$$|MN|^2=9-9\sin^2\varphi+\sin^2\varphi+8\sin\varphi+16=-8\sin^2\varphi+8\sin\varphi+25$$

记 $s=\sin\varphi\in[-1,1]$，配方：

$$|MN|^2=-8\left(s-\frac12\right)^2+27\le 27$$

$s=\dfrac12$ 落在 $[-1,1]$ 里、真取得到，故 $|MN|_{\max}=\sqrt{27}=3\sqrt3$，此时 $y_M=\dfrac12$、$x_M=\pm\dfrac{3\sqrt3}{2}$。

换个写法也是同一回事：直接设 $M(x_M,y_M)$，用 $x_M^2=9-9y_M^2$ 消去 $x_M$，得到的正是 $-8y_M^2+8y_M+25$，$y_M\in[-1,1]$。它与上面不算两条路——参数化只是把 $y_M$ 改名叫 $\sin\varphi$，同一个二次函数、同一个取值范围。

收口。

$$|PM|_{\max}=3\sqrt2+3\sqrt3=3\left(\sqrt3+\sqrt2\right)$$

下面这张图把几个对象摆在一起：椭圆、$P$ 的轨迹圆、圆心（图上只标了坐标 $(0,-4)$，就是正文的 $N$），以及椭圆上离 $N$ 最远的那个点（图上记作 $Q$，就是本题取到最值时的 $M$）。

图上那条红段不是答案里的那条 $|PM|$。 它连的是 $Q$ 与圆上离 $Q$ 最近的那个点，长度只有 $3\sqrt3-3\sqrt2\approx0.95$；图的标题写的算式（半径 $+$ 圆心到椭圆最远）是对的，但画出来的这条段与那个算式不是一回事。按上面的取等条件，$N$ 必须落在 $P$ 与 $M$ 之间，所以最优的 $P$ 在圆的另一侧：把 $M\left(\dfrac{3\sqrt3}{2},\dfrac12\right)$ 与 $N$ 的连线过 $N$ 往下延长、交圆于

$$P\left(-\frac{3\sqrt2}{2},\ -4-\frac{3\sqrt6}{2}\right)\approx(-2.12,\,-7.67)$$

那一对 $P,M$ 才是 $|PM|=3\sqrt2+3\sqrt3$ 的构型。看图只用来认对象（椭圆、圆、圆心、最优的 $M$），别把图上那个红点当成最优的 $P$。

被挖掉的那两个点会不会正好是最优的 $P$？ 值得一验，否则最大值取不到、答案就该改成「小于」。取等时 $N$ 在线段 $PM$ 上，即 $P$ 是从 $M$ 出发穿过 $N$ 再走到圆上的那个点。最优的 $M$ 横坐标 $x_M=\pm\dfrac{3\sqrt3}{2}\neq0$，所以 $M$ 与 $N$ 的连线不竖直，延长后落在圆上的 $P$ 横坐标也不为 $0$——它不是被挖掉的点，最大值确实取得到。

这两条路差在哪。 解法一把「共线」翻成斜率、把「长度」翻成根号，全程在坐标里硬算：好处是不用任何新工具，会写斜率和两点距离就能做；代价是根号、通分、符号（$mx_0>0$）都得自己照顾。解法二把「共线 $+$ 同侧」一次性打包成 $\overrightarrow{AR}=\lambda\overrightarrow{AP}\ (\lambda>0)$，长度随倍数走，于是根号消失、$R$ 的坐标一眼读出；更要紧的是它留住了 $\lambda$ 这个中间量，(ii) 里那句 $\lambda(1-2n)=1$ 比解法一的分式约分干净得多。凡是「定比 / 定长乘积 / 同一条射线」这类条件，先试向量数乘。

🕳️ 避坑

• 椭圆的基本量关系是 $a^2=b^2+c^2$（$a$ 最大）；那条 $c^2=a^2+b^2$ 属于另一族曲线。记反了这道题从第一步就全错，而且会解出负的平方数。
• $A$ 是下顶点 $(0,-b)$，不是 $(0,b)$。$|AB|$ 的值两种取法一样，看不出错——但 (2) 里 $k_{AP}=\dfrac{n+1}{m}$ 的那个 $+1$ 全靠 $A(0,-1)$，符号错了后面每一步都错。
• 「射线」不是「直线」：$\lambda>0$（解法一里是 $mx_0>0$）这一句不能丢。丢了会多出 $A$ 另一侧的一支镜像解，$R$ 的坐标要带上正负号。
• $|PM|$ 的两个端点都在动。把 $P$ 固定在某个看着特殊的位置（比如轨迹圆的最高点、或离 $M$ 最近的那个点）再让 $M$ 动，算出来的只是某一条线段的长，不是最大值——上面那张图里的红段恰好就是这个错误的样子：$M$ 取对了，$P$ 却取在离它最近的一侧。
• 取等看的是共线的次序：$|PM|\le|PN|+|NM|$ 的等号要求 $N$ 在 $P$ 与 $M$ 之间，不是「$P$ 挨着 $M$」。次序搞反，算出来的是最小值 $|MN|-r$。
• 配方得到 $-8\left(s-\dfrac12\right)^2+27$ 之后要看一眼 $s=\dfrac12$ 在不在 $[-1,1]$ 内。顶点落在范围外时最大值在端点取，直接写 $\le27$ 就只是碰巧对。
• 别把 $|MN|_{\max}=3\sqrt3$ 当答案交上去——题目问的是 $|PM|$，还差一个半径 $3\sqrt2$。