6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示

上一节把向量装进了坐标：选定基底 $\{i, j\}$ 之后，每个向量都写成唯一的一对实数 $(x, y)$。 这一节只回答一个问题——装进坐标之后，加减法怎么算。

答案短到一行：按分量各加各的。真正值钱的不是这行公式，是它带来的那条通路： 从这一节起，“几何里的箭头”可以整段整段地换成”代数里的数对”，画图不再是必需品。 高考立体几何大题里的建系解法、向量选择题里的”坐标展开”，源头都在这里。

一、两条公式，一次推导

设 $a = (x_1, y_1)$，$b = (x_2, y_2)$，意思是 $a = x_1 i + y_1 j$、$b = x_2 i + y_2 j$。把两式相加， 按加法交换律与结合律重排、再按数乘对向量加法的分配律合并同类项：

$$a + b = (x_1 i + y_1 j) + (x_2 i + y_2 j) = (x_1 + x_2) i + (y_1 + y_2) j,$$

于是

$$a + b = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2), \qquad a - b = (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2).$$

两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量相应坐标的和（差）。

减法那一条不必另推：$a - b = a + (-b)$，而 $-b = (-x_2, -y_2)$，代进加法那条即得。 之所以能这么干净，全靠上一节那句”每个向量在给定基底下的坐标唯一”—— 两边都写成 $\alpha i + \beta j$ 的形状，就可以逐项对系数。

二、真正要记的是这一条：终点减起点

课本把它写在”探究”里，但它才是这一节在后面各章被用得最多的一句。

设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$。把 $\overrightarrow{AB}$ 拆成两条从原点出发的向量之差：

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (x_2, y_2) - (x_1, y_1) = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1).$$

这一步用的是上一节的三角形法则 $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB}$ 移项， 再加上一个常被跳过的事实：点 $A$ 的坐标就是向量 $\overrightarrow{OA}$ 的坐标——因为 $\overrightarrow{OA} = x_1 i + y_1 j$，而这正是”点 $A$ 的横坐标是 $x_1$、纵坐标是 $y_1$“的另一种说法。 点与向量在坐标系里被同一对数描述，只是一个说位置、一个说位移。

于是有了那句口诀：

$$\overrightarrow{AB} = (\text{终点坐标}) - (\text{起点坐标}).$$

顺序不能反。 $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$，两个坐标同时变号。写反了不会算错半个式子， 而是把整个方向调了个头——这一节的错，几乎全出在这里。

三、三种常见问法，各配一个动作

1. 给两个向量的坐标，求和差。 直接套公式，逐分量加减。没有陷阱，只有抄错。

2. 给两个点的坐标，求向量。 用”终点减起点”。要留心题目问的是 $\overrightarrow{AB}$ 还是 $\overrightarrow{BA}$。

3. 判断两条线段平行 / 相等。 这是本节最像高考的一类。做法是把线段都换成向量，再比较坐标：

• 两个向量相等（坐标完全相同）$\Rightarrow$ 它们同向且等长。若这两个向量表示的是两条不共线的线段 $AB$ 与 $DC$，那么 $ABCD$ 是平行四边形，于是 $AB \parallel DC$ 且 $|AB| = |DC|$。
• 反过来，要在平行四边形里定一个未知顶点，就写出”一组对边对应的两个向量相等”， 拆成横、纵两个方程解。课本例 5 的解法 1 正是这一步。

第三类里有一处必须验、也最常被跳过的前提：由 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ 只能推出 $AB$ 与 $DC$ 平行或在同一条直线上。要断言”$ABCD$ 是平行四边形”或"$AB \parallel DC$"， 还得说明 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点不共线。课本例 5 里图已给出、不必赘述， 但在只给四个点坐标的题目里（本节练习第 3 题就是），这一步要自己补。

四、易错清单

按失分频率排：

1. “终点减起点”写反。 求 $\overrightarrow{AB}$ 却算成 $A - B$。核的办法：算完随手验一下方向—— 若 $B$ 在 $A$ 右上方，$\overrightarrow{AB}$ 的两个分量就该都是正的。
2. 点的坐标与向量的坐标混着用。 只有从原点出发的向量，坐标才与终点的坐标相同； $\overrightarrow{AB}$ 的坐标与 $A$、$B$ 任何一点的坐标都不同。
3. 由向量相等直接断言平行四边形，不验四点不共线。 共线时四个点在一条直线上， 图形退化，“平行”无从谈起。
4. 减法减错次序。 $a - b$ 与 $b - a$ 差一个负号；先写清哪个是被减向量再动笔。
5. 括号里逗号两侧的正负号抄丢。 $(2,1) - (-3,4) = (5,-3)$ 中的 $2-(-3)=5$ 是本节最高频的算错点。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期派生的完整清单，这里只给一个读的顺序：

• 先看 2023 年第 3 题与 2024 年第 3 题：两道都是”给坐标、求参数”的向量小题， 练的正是把几何条件一步换成坐标方程这个动作。它们对应的运算在下一节（数量积的坐标表示）， 但”先把向量写成坐标”这一步是这一节教的。
• 再看 2025 年第 6 题（帆船视风求真风）：题面给的是两支箭头，解法之一就是把它们接起来、 按坐标相加——本节两条公式最朴素的一次应用。
• 最后是三道立体几何大题 2022 年第 19 题、2023 年第 18 题、2025 年第 17 题： 它们都从”建系”开始，随后每一步都在做坐标的加减。这一节是那类大题的第一个台阶： 建完系写各点坐标，紧接着就是一串”终点减起点”。这个动作不熟，后面的法向量、夹角全都无从算起。

本节课本习题共 3 道，都在第 37 页的「练习」里，逐题全做。本节页面上没有「习题 6.3」—— 那一组题排在 §6.3.5 的末尾，归它那一节的详解。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 37 页）第 1 题

1. 在下列各小题中，已知向量 $a, b$ 的坐标，分别求 $a + b, a - b$ 的坐标：(1) $a = (-2, 4), b = (5, 2)$; (2) $a = (4, 3), b = (-3, 8)$; (3) $a = (2, 3), b = (-2, -3)$; (4) $a = (3, 0), b = (0, 4)$.

四小问都直接套坐标形式的加减法：和（差）的坐标 = 相应坐标的和（差）。 设 $a = (x_1, y_1)$，$b = (x_2, y_2)$，则

$$a + b = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2), \qquad a - b = (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2).$$

（1）$a = (-2, 4)$，$b = (5, 2)$：

$$a + b = (-2 + 5,\ 4 + 2) = (3, 6), \qquad a - b = (-2 - 5,\ 4 - 2) = (-7, 2).$$

（2）$a = (4, 3)$，$b = (-3, 8)$：

$$a + b = (4 + (-3),\ 3 + 8) = (1, 11), \qquad a - b = (4 - (-3),\ 3 - 8) = (7, -5).$$

这一小问里 $4 - (-3) = 7$ 是最容易写成 $1$ 的一处，减号与负号叠在一起时把括号写全。

（3）$a = (2, 3)$，$b = (-2, -3)$：

$$a + b = (2 + (-2),\ 3 + (-3)) = (0, 0), \qquad a - b = (2 - (-2),\ 3 - (-3)) = (4, 6).$$

注意 $a + b = (0,0)$ 就是零向量 $\mathbf{0}$：本小问里 $b = -a$，两个互为相反向量的和当然是零向量。 而 $a - b = a - (-a) = 2a = (4, 6)$，与逐分量算出的结果一致，可作自检。

（4）$a = (3, 0)$，$b = (0, 4)$：

$$a + b = (3 + 0,\ 0 + 4) = (3, 4), \qquad a - b = (3 - 0,\ 0 - 4) = (3, -4).$$

自检：把每一小问的 $a+b$ 与 $a-b$ 相加，结果应恒等于 $2a$。如（2）中 $(1, 11) + (7, -5) = (8, 6) = 2 \times (4, 3)$，相符。这个恒等式来自 $(a+b) + (a-b) = 2a$，四小问都能这么核一遍，比重算一遍快。

这道题的关键动作：加减法在坐标下只在同一个位置上发生——横坐标只和横坐标打交道， 纵坐标只和纵坐标打交道，两条互不串门。

练习（第 37 页）第 2 题

2. 在下列各小题中，已知 A, B 两点的坐标，分别求 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{BA}$ 的坐标： (1) $A(3, 5)$ , $B(6, 9)$ ; (2) $A(-3, 4)$ , $B(6, 3)$ ; (3) $A(0, 3)$ , $B(0, 5)$ ; (4) $A(3, 0)$ , $B(8, 0)$ .

用「一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去起点坐标」： 设 $A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$，则

$$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1), \qquad \overrightarrow{BA} = (x_1 - x_2,\ y_1 - y_2).$$

两者互为相反向量，所以算出一个之后，另一个把两个分量同时变号即可。

（1）$A(3, 5)$，$B(6, 9)$：

$$\overrightarrow{AB} = (6 - 3,\ 9 - 5) = (3, 4), \qquad \overrightarrow{BA} = (3 - 6,\ 5 - 9) = (-3, -4).$$

（2）$A(-3, 4)$，$B(6, 3)$：

$$\overrightarrow{AB} = (6 - (-3),\ 3 - 4) = (9, -1), \qquad \overrightarrow{BA} = (-3 - 6,\ 4 - 3) = (-9, 1).$$

（3）$A(0, 3)$，$B(0, 5)$：

$$\overrightarrow{AB} = (0 - 0,\ 5 - 3) = (0, 2), \qquad \overrightarrow{BA} = (0 - 0,\ 3 - 5) = (0, -2).$$

两点都在 $y$ 轴上，所以横坐标之差为 $0$：$\overrightarrow{AB} = (0, 2)$ 与 $y$ 轴平行、方向向上， $\overrightarrow{BA}$ 与它反向。

（4）$A(3, 0)$，$B(8, 0)$：

$$\overrightarrow{AB} = (8 - 3,\ 0 - 0) = (5, 0), \qquad \overrightarrow{BA} = (3 - 8,\ 0 - 0) = (-5, 0).$$

两点都在 $x$ 轴上，向量水平。

自检：每一小问都满足 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = (0,0)$，如（2）中 $(9, -1) + (-9, 1) = (0, 0)$，相符——这正是 $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \mathbf{0}$ 在坐标下的样子。

这道题的关键动作：先认清谁是终点。$\overrightarrow{AB}$ 的终点是 $B$，所以是 $B$ 的坐标减 $A$ 的坐标； 写反了得到的是方向相反的那个向量。

练习（第 37 页）第 3 题

3. 若点 $A(0, 1)$, $B(1, 0)$, $C(1, 2)$, $D(2, 1)$, 则 $AB$ 与 $CD$ 有什么位置关系？证明你的猜想.

猜想：线段 $AB$ 与线段 $CD$ 平行，且长度相等。

证明。先把两条线段各换成一个向量，用终点坐标减起点坐标：

$$\overrightarrow{AB} = (1 - 0,\ 0 - 1) = (1, -1), \qquad \overrightarrow{CD} = (2 - 1,\ 1 - 2) = (1, -1).$$

两个向量的坐标完全相同，所以

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD},$$

即 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{CD}$ 是相等向量——方向相同、长度相等。由此立刻得到

$$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2},$$

即 $|AB| = |CD| = \sqrt{2}$。

还差一步前提要验：相等向量只保证两条线段所在直线平行或重合。要断言”平行”， 必须排除 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点共线（重合的情形）。直线 $AB$ 过 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$， 斜率为 $\dfrac{0 - 1}{1 - 0} = -1$，方程是

$$y = -x + 1, \quad\text{即}\quad x + y = 1.$$

把 $C(1, 2)$ 代入：$1 + 2 = 3 \neq 1$，所以 $C$ 不在直线 $AB$ 上，两条线段不共线。

因此线段 $AB$ 与线段 $CD$ 平行且相等：$AB \parallel CD$，且 $|AB| = |CD| = \sqrt{2}$。

顺带：由 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ 且四点不共线，四边形 $ACDB$ 是平行四边形 （$A \to C$ 与 $B \to D$ 是它的另一组对边）。核一下： $\overrightarrow{AC} = (1 - 0,\ 2 - 1) = (1, 1)$，$\overrightarrow{BD} = (2 - 1,\ 1 - 0) = (1, 1)$， 两者相等，与结论相符。注意顶点次序是 $A$、$C$、$D$、$B$，不是 $A$、$B$、$C$、$D$—— 后者按边连起来会自交，不是平行四边形。

这道题的关键动作：把”位置关系”翻译成”两个向量的坐标是否相同”，再补一句四点不共线， 证明就完整了。少了后面那一句，“平行”是没有挣得的。