浙江 2025 · 数学 q06

冷启动：先把三个「风」分清楚

假设你只知道一句话：平面向量就是带箭头的量，既有大小又有方向。这道题剩下的全部难度，都在把题面那两句话读懂。

题目里出现了三股风，它们是三支不同的箭头：

• 真风：空气自己在动，站在岸上的人测到的那股风。这是要求的东西。
• 船行风：就算空气完全静止，船一往前开，坐在船上的人也会觉得有一股风迎面吹来——骑车时的感觉一模一样。它的大小等于船速，方向与船速正好相反（你往东开，风就迎面向西吹）。
• 视风：船上的风力计实际测到的那一股，它是上面两股叠加的结果。

题面把「叠加」这件事说得很死：视风对应的向量 $=$ 真风对应的向量 $+$ 船行风对应的向量，且船行风 $=-$船速（大小相等、方向相反的两支箭头，互为相反向量）。

我们要的是真风，所以把它单独留在一边——两句话直接消掉船行风：

$$\text{视风}=\text{真风}+\text{船行风}=\text{真风}-\text{船速} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\ \text{真风}=\text{视风}+\text{船速}\ }$$

是加船速，不是减。 这个正负号是本题唯一的思维关卡：船行风才是那个「反向」的量，船速本身没反向；消去船行风时那个负号被抵掉了，于是留下一个加号。

这一步太关键，所以下面两条解法各自都会把它重走一遍——不是啰嗦，是每条路都得自己站得住。

题面那两张图分别给了什么

图 2 是一张 1 格 $=$ 1 m/s 的网格，上面画着两支实心箭头——注意船行风一支都没画：

• 视风那支：箭尾在 $(3,3)$，箭头尖在 $(0,2)$；
• 船速那支：箭尾在 $(2,0)$，箭头尖在 $(3,3)$。

哪一端是箭尾、哪一端是箭头尖，只能看图上的箭头画在哪一头——这是本题最容易翻车的地方，看反了后面全错（避坑段里算给你看）。

图 1 是风力对照表，题面给的分档是：

等级	风速大小 m/s	名称
2	1.1~3.3	轻风
3	3.4~5.4	微风
4	5.5~7.9	和风
5	8.0~10.1	劲风

于是整道题只有三件事：把真风那支箭头找出来 → 量它有多长 → 拿长度查这张表。两条路的分歧只在第一件事上。

教学图怎么看。 左边那格是把图 2 的两支箭头连读数一起画出来（用「终点 $-$ 起点」翻成坐标）；右边那格换了个摆法，把三股风搬到同一个起点上，好让你看清「视风 $=$ 真风 $+$ 船行风」这个关系本身。图下 ③ 走的是等价的另一种记法：$\text{真风}=\text{视风}-\text{船行风}$——减掉的是船行风，不是船速，和上面那句「加船速」说的是同一件事，别把两个「减」记混。至于解法二要用的那一笔，图上没有替你画：那是从 $(2,0)$ 直连到 $(0,2)$ 的一支，留给你自己在左边那格上补。

解法一：读坐标相加求模

怎么想到的。 网格已经把坐标系摆好了，那就干脆把每支箭头翻译成两个数，让几何问题彻底变成算术——这就是向量坐标化。翻译只要三条规矩，都出自向量的坐标运算：

1. 一支箭头的坐标 $=$ 终点坐标 $-$ 起点坐标；
2. 两支箭头相加 $=$ 对应坐标各自相加；
3. 一支箭头有多长（模）$=\sqrt{x^2+y^2}$。

这条路的好处是不需要任何几何眼力：图画成什么样都能照着做，箭头哪怕散落在图的两头也不影响。

① 先把题面两句话拧成一个等式。 题面说「视风 $=$ 真风 $+$ 船行风」，又说船行风与船速大小相等、方向相反，即 $\text{船行风}=-\text{船速}$。代进去得 $\text{视风}=\text{真风}-\text{船速}$，移项：

$$\boxed{\ \text{真风}=\text{视风}+\text{船速}\ }$$

是加船速，不是减——反向的是船行风、不是船速，消去船行风时那个负号被抵掉了。所以接下来要算的是视风与船速之和。

② 读这两支箭头的坐标。 先把「哪一端是箭头尖」在图 2 上看死——这是全题唯一算不出来、只能看的一步，两支箭头各自都带着标注：

• 标着「视风风速」的那支：箭尾在 $(3,3)$，箭头尖画在 $y$ 轴上的 $(0,2)$——所以它从右上往左下偏着指；
• 标着「船速」的那支：箭尾在 $x$ 轴上的 $(2,0)$，箭头尖画在 $(3,3)$——所以它往右上指。

于是船速的箭头尖恰好落在视风的箭尾上（两支在 $(3,3)$ 相接）——这是图上就画成这样，不是这里的假设。哪一支看反都会把模变成 $4\sqrt2\approx5.66$（看反视风得 $(4,4)$，看反船速得 $(-4,-4)$），把你送进「和风」那一档（避坑段里算给你看）。

按「终点 $-$ 起点」：

$$\text{视风}=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),\qquad \text{船速}=(3,3)-(2,0)=(1,3)$$

③ 按 ① 那个等式相加（对应坐标各自相加）：

$$\text{真风}=(-3,-1)+(1,3)=(-3+1,\ -1+3)=(-2,2)$$

④ 求模——风速就是这支箭头的长度：

$$|\text{真风}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\approx2.83\ (\mathrm{m/s})$$

⑤ 拿这个数查题面图 1 的风力对照表定档。 题面图 1 那张表逐字给的分档是：2 级「轻风」$1.1\sim3.3$、3 级「微风」$3.4\sim5.4$、4 级「和风」$5.5\sim7.9$、5 级「劲风」$8.0\sim10.1$（首尾相接的四行，查表就按题面这张表，别拿记忆里的风级表替换它）。$2.83$ 落在 $1.1\sim3.3$ 里，故真风是轻风，选 A。

解法二：图上首尾相接读合向量

怎么想到的。 坐标只是后来发明的算法，加法本来的定义是画出来的：把第二支箭头的箭尾搬到第一支箭头的箭头尖上，那么「从第一支的箭尾一路到第二支的箭头尖」的那一支，就是两者之和。于是问一句：这道题要相加的两支箭头，需要搬吗？

① 先弄清要相加的是哪两支。 题面说「视风 $=$ 真风 $+$ 船行风」，又说船行风与船速大小相等、方向相反，即 $\text{船行风}=-\text{船速}$，于是 $\text{视风}=\text{真风}-\text{船速}$，移项得

$$\boxed{\ \text{真风}=\text{视风}+\text{船速}\ }$$

要接起来的正是「视风」与「船速」这两支——是加船速、不是加船行风：反向的是船行风，消去它时那个负号被抵掉了。而图 2 上画出来的恰好就是这两支（船行风一支都没画），一个都不缺、一个都不多。

② 它们已经接好了。 看图 2：船速那支的箭头尖落在 $(3,3)$，而视风那支的箭尾也正好在 $(3,3)$。两支箭头本来就首尾相接，一格都不用搬。（加法可以交换，所以 $\text{船速}+\text{视风}$ 与 $\text{视风}+\text{船速}$ 是同一件事。）

于是这个和就是把这条折线的两个自由端连起来：从船速的箭尾 $(2,0)$ 直连到视风的箭头尖 $(0,2)$，箭头指向 $(0,2)$ 那头。按 ① 的等式，这一支就是真风——整条路上没做过一次向量加法的分量运算（也就是「两个坐标各自相加」那一步）。

别接错那一支。 有人会想：题面里出现的是船行风，那就把船行风接上去。不行——$\text{视风}+\text{船行风}$ 不是题面里的任何一个量（把「视风 $=$ 真风 $+$ 船行风」代进去，它等于 $\text{真风}+2\,\text{船行风}$）。要接的是船速那支，也正是图上画着的那支；若把船行风 $(-1,-3)$ 接上去，得到的是 $(-4,-4)$、长度 $4\sqrt2\approx5.66$，档位当场跑到另一档去。

顺便说清这几支箭头围成的形状。 $(2,0)\to(3,3)\to(0,2)$ 这三条边给出的等式是 $\text{船速}+\text{视风}=\text{真风}$；题面那句「视风 $=$ 真风 $+$ 船行风」是它移项后的样子（把 $(2,0)\to(3,3)$ 这条边反向遍历，走的就是船行风）。图上并没有直接画出「真风 $+$ 船行风」这条首尾相接的链——那条链要用到一个图上根本没有的点 $(1,5)$（$(3,3)$ 沿真风走一步的落点），别去找。

③ 它有多长。 从 $(2,0)$ 走到 $(0,2)$：向左 2 格、向上 2 格，这两段互相垂直，勾股一算

$$|\text{真风}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt8=2\sqrt2\approx2.83\ (\mathrm{m/s})$$

省掉的是相加那一步，不是量长那一步——长度还是要老实算的。

方向顺带也看出来了：这一支指向左上方（船速那支指向右上方，两者并不平行）。选择题只问风的档位，方向用不上，但画得出方向说明你对这个和的理解是对的，而不是把两个数瞎凑出来的。

④ 拿这个数查题面图 1 的风力对照表定档。 题面图 1 那张表逐字给的分档是：2 级「轻风」$1.1\sim3.3$、3 级「微风」$3.4\sim5.4$、4 级「和风」$5.5\sim7.9$、5 级「劲风」$8.0\sim10.1$（首尾相接的四行，查表就按题面这张表，别拿记忆里的风级表替换它）。$2.83$ 落在 $1.1\sim3.3$ 里，故真风是轻风，选 A。

这两条路差在哪

解法一是可以无脑推广的：不管图上箭头怎么摆、有几支、是不是首尾相接，翻译成坐标一律照算，代价是要写四个坐标、做两次加减。解法二只在图恰好首尾相接时特别快（这道题正是），它换来的是「向量加法到底是什么」这件事变得没法记错——而一旦箭头没接上（比如像教学图右边那格那样两支共起点），它就得先在心里平移一支，那时反而不如直接算坐标稳。

两条路都能占的一个小便宜：连 $\sqrt8$ 的近似值都不必算准。$2<2\sqrt2<3$，而 $[2,3]$ 整段只被「轻风」那一档覆盖——档位已经定死了。

🕳️ 避坑

• 正负号别搞反：真风 $=$ 视风 $+$ 船速。若误算成 $\text{视风}-\text{船速}=(-4,-4)$，模是 $4\sqrt2\approx5.66$，正好落进 $5.5\sim7.9$ 那一档、误选 C（和风）。
• 坐标要「终点 $-$ 起点」：把视风读成 $(3,3)-(0,2)=(3,1)$（看反箭头），得真风 $(4,4)$、模同样是 $4\sqrt2\approx5.66$——又是 C。这两种错法都掉进同一处，说明 C 就是给它们准备的。
• 别只算测到的那支：$|\text{视风}|=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\approx3.16$，这个数也落在轻风档里。也就是说，把视风当成真风交上去，这道题照样能选对 A——但方法是错的，换一组数值当场露馅。选对不等于做对，回头核一遍你用的是哪支箭头。
• 查表要对齐单位与区间：表里给的是 m/s，而 $2\sqrt2$ 是精确值、$2.83$ 是它的近似值；先定档位再谈精度，别拿 $\sqrt8$ 直接跟 $1.1$、$3.3$ 比大小比出错。