双曲线的 a、b、c 关系

教材原文

由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以 $c^{2}-a^{2}>0$ .

类比椭圆标准方程的建立过程，令 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ ，其中b>0，代入上式，得

$$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > 0, b > 0).\tag{\text{\textcircled{2}}}$$

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点 $(x, y)$ 与双曲线的两个焦点 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上。我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点分别是 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的双曲线，这里 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

公式

说明

• 和椭圆相反：椭圆是 $a^2=b^2+c^2$（$a$ 最大），双曲线是 $c^2=a^2+b^2$（$c$ 最大）。记混是常见失分点。
• 几何直观：$a,b$ 是特征矩形的半宽半高，$c$ 是矩形对角线的一半——直角三角形斜边最长，故 $c$ 最大。
• 用在本题：$b=\sqrt7\,a\Rightarrow c^2=a^2+7a^2=8a^2\Rightarrow c=2\sqrt2\,a$。