双曲线

教材原文

一般地，我们把平面内与两个定点 $F_{1}$，$F_{2}$ 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 $|F_{1}F_{2}|$）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线 $F_{1}F_{2}$ 是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 的直线为 $x$ 轴，线段 $F_{1}F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立如图3.2-3所示的平面直角坐标系Oxy.设 $M(x,y)$ 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 $2c(c > 0)$ ，那么，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标分别是（-c，0），$(c,0)$ ，又设 $\mid |MF_1| - |MF_2| = 2a$ （ $a$ 为大于0的常数， $a < c$ ）.

由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：

$P = \{M | | | M F _ {1} | - | M F _ {2} | | = 2 a, 0 < 2 a < | F _ {1} F _ {2} | \}.$

由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以 $c^{2}-a^{2}>0$ .

类比椭圆标准方程的建立过程，令 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$ ，其中b>0，代入上式，得

$$\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > 0, b > 0).\tag{\text{\textcircled{2}}}$$

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点 $(x, y)$ 与双曲线的两个焦点 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上。我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点分别是 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的双曲线，这里 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$。

如图 3.2-4，双曲线的焦距为 2c，焦点分别是 $F_{1}(0, -c)$ ， $F_{2}(0, c)$ ，a，b 的意义同上，这时双曲线的方程是

$\frac {y ^ {2}}{a ^ {2}} - \frac {x ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > 0, b > 0),$

这个方程也是双曲线的标准方程.

要点

• 焦点在 $x$ 轴上的标准方程：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,\ b>0)$。
• 三大基本量 $a,b,c$：$a$ 定实轴、$b$ 定虚轴、$c$ 定焦点，关系为 $c^2=a^2+b^2$（双曲线里 $c$ 最大）。
• 顶点 $(\pm a,0)$ 在曲线上；虚轴端点 $(0,\pm b)$ 不在曲线上，只用来定特征矩形与渐近线。