焦点在哪个轴上未讨论

圆锥曲线的标准方程有两套：焦点在 $x$ 轴上的 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$， 和焦点在 $y$ 轴上的 $\dfrac{y^{2}}{a^{2}}-\dfrac{x^{2}}{b^{2}}=1$（椭圆、抛物线同理）。 题面若只给了「渐近线方程」「离心率」「过某点」这类不指向某个轴的条件，两套都得试。

判据很简单：题面里有没有一句话把焦点钉在某个轴上？ 常见的钉法有三种——

• 直接说「焦点在 $x$ 轴上」「焦点为 $(c,0)$」；
• 给出实轴（长轴）所在的直线；
• 给出方程的形式（例如题面直接写了 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$）。

三种都没有，就是两解题：把两套方程各算一遍，再各自回代验一次。

两种典型后果：

1. 漏解。 「求方程」「求 $a$、$b$」这类题，两种摆法给的答案通常不同，只写一个就丢一半分。

2. 蒙对而不自知。 只求离心率这类比值的题，两种摆法有时给出同一个数 （例如渐近线为 $y=\pm x$ 时，无论焦点在哪个轴上都有 $a=b$，离心率都是 $\sqrt2$）。 答案对了，但推理少了一半——换成「求方程」的问法就会栽。所以要养成的习惯是 先问一句「焦点被钉住了吗」，再决定要不要分类，不是等答案不对了才回头补。

   别把这个「有时」记成「总是」。 渐近线的斜率是 $m$ 时，两种摆法给的 $\dfrac ba$ 分别是 $m$ 与 $\dfrac1m$，离心率分别是 $\sqrt{1+m^{2}}$ 与 $\sqrt{1+1/m^{2}}$—— 两者相等当且仅当 $m=1$。渐近线取 $y=\pm2x$ 就是反例：焦点在 $x$ 轴上时 $e=\sqrt5$， 焦点在 $y$ 轴上时 $e=\dfrac{\sqrt5}{2}$。连离心率都得分两种摆法作答。

注意渐近线条件的特别之处。 双曲线的渐近线只给出 $a$ 与 $b$ 的比，不给它们的值： 渐近线 $y=\pm x$ 只说明 $a=b$，并不说明 $a=b=1$。 所以这类条件既定不了焦点位置，也定不了方程——它只够求离心率这种比值量。