浙江 2011 · 数学 q17

冷启动：先把「三等分」画出来

题面只有一句话：椭圆的焦点将其准线间的距离三等分。这句话里有三个量要摆到数轴上。 设椭圆是 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$），

• 两条准线：$x=\pm\dfrac{a^{2}}{c}$，它们之间的距离是 $\dfrac{2a^{2}}{c}$；
• 两个焦点：$(\pm c,0)$，它们之间的距离是 $2c$。

四个点 $-\dfrac{a^{2}}{c}$、$-c$、$c$、$\dfrac{a^{2}}{c}$ 从左到右排在 $x$ 轴上 （因为 $\dfrac{a^{2}}{c}>a>c$），两个焦点把两准线之间那一整段切成三块：

$$\underbrace{\frac{a^{2}}{c}-c}_{\text{左块}}\ ,\qquad \underbrace{2c}_{\text{中块}}\ ,\qquad \underbrace{\frac{a^{2}}{c}-c}_{\text{右块}} .$$

左右两块天生相等（对称），所以**「三等分」这句话真正给出的信息只有一条**：

$$\frac{a^{2}}{c}-c=2c .$$

剩下的全是代数。下面三条路的差别，只在于什么时候把 $a$ 消掉。

解法一：照字面列式——中间那段 $2c$ 恰是全长的三分之一

原卷解析走的就是这一条。「三等分」意味着中间那块是全长的 $\dfrac13$：

$$2c=\frac{1}{3}\cdot\frac{2a^{2}}{c} .$$

两边同乘 $c$（$c>0$，可乘），再约掉两边的 $2$：

$$2c^{2}=\frac{2a^{2}}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3c^{2}=a^{2} .$$

这已经是一个只含 $a$、$c$ 的齐次方程，两边同除以 $a^{2}$：

$$3\cdot\frac{c^{2}}{a^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad e^{2}=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad e=\frac{\sqrt{3}}{3} .$$

（$e>0$，负根舍去；又 $e=\dfrac{\sqrt3}{3}\approx 0.577<1$，确实是椭圆。）

回头验一遍。 取 $c=1$，则 $a^{2}=3$、$\dfrac{a^{2}}{c}=3$，四个点是 $-3,-1,1,3$， 三段长度依次是 $2,2,2$——真的三等分。所以

$$\boxed{e=\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$$

解法二：一上来就齐次化——准线 $x=\pm\frac{a}{e}$、焦点 $x=\pm ae$，$a$ 自己约掉

上一条是「先列式、后除 $a^{2}$」。既然最后总要除，不如一开始就用 $e$ 写坐标：

$$c=ae ,\qquad \frac{a^{2}}{c}=\frac{a^{2}}{ae}=\frac{a}{e} .$$

由 $0<e<1$（椭圆）得 $\dfrac{a}{e}>a>ae$，所以四个点确实按 $-\dfrac{a}{e},\ -ae,\ ae,\ \dfrac{a}{e}$ 的顺序从左到右排，三段长度是

$$\frac{a}{e}-ae ,\qquad 2ae ,\qquad \frac{a}{e}-ae .$$

三段等长即 $\dfrac{a}{e}-ae=2ae$。每一项都带一个因子 $a>0$，直接约掉：

$$\frac{1}{e}-e=2e \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{e}=3e \quad\Longrightarrow\quad e^{2}=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad e=\frac{\sqrt{3}}{3} .$$

全程没有出现过 $a$ 或 $c$ 的具体值——这正是这类题的常态： 题面只给了形状信息，没给大小信息，所以能求出来的也只有 $e$ 这种与大小无关的量。 一上来就把长度写成「$a$ 乘一个只含 $e$ 的因子」，$a$ 会自己约掉； 反过来说，如果你的式子最后 $a$ 约不掉，多半是哪一步写错了。

解法三：走焦准距 $\frac{b^{2}}{c}$——三等分就是 $b^{2}=2c^{2}$

第三条路换一个量当主角：焦点到相应准线的距离（焦准距）

$$\frac{a^{2}}{c}-c=\frac{a^{2}-c^{2}}{c}=\frac{b^{2}}{c} .$$

这恰好就是图上的左块（也是右块）。于是「三段等长」写成

$$\frac{b^{2}}{c}=2c \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=2c^{2} .$$

再用椭圆自带的 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 把 $b$ 换掉：

$$a^{2}=2c^{2}+c^{2}=3c^{2} \quad\Longrightarrow\quad e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad e=\frac{\sqrt{3}}{3} .$$

这条路的好处是中间量有几何意义：$\dfrac{b^{2}}{c}$ 是焦准距，$\dfrac{2b^{2}}{a}$ 是通径长， 都是圆锥曲线里反复出现的老面孔。题目若改成「焦点到相应准线的距离等于焦距」， 这条路一行就写完（$\dfrac{b^{2}}{c}=2c$），另外两条反而要绕。

三条路怎么选

• 解法一最贴题面，考场上照着念就能列出式子，缺点是要多写一步「同除 $a^{2}$」。
• 解法二最短，而且结构最稳：把所有长度都写成 $a$ 乘一个含 $e$ 的因子，$a$ 必然约掉。 变式题（准线间距被焦点四等分、焦点把它分成 $1:2:1$ 之类）改一个数字就能重算。
• 解法三适合题面本来就在说「焦点到准线」的距离；它把 $b$ 引进来，多一步换元， 但换来的是一个能记住的量 $\dfrac{b^{2}}{c}$。

易错

• 把「两准线间的距离」写成 $\dfrac{a^{2}}{c}$。那是中心到一条准线的距离， 两条准线之间是它的两倍 $\dfrac{2a^{2}}{c}$；同理焦距是 $2c$ 而不是 $c$。 这道题两处都要乘 $2$，若两处同时漏乘，$2$ 会碰巧约掉、答案照样对—— 下一道题就未必了（详见易错点「准线间距漏算成一半」）。
• 默认焦点在 $x$ 轴上。题面一个字都没说焦点在哪条轴上。 好在离心率与坐标系的摆法无关：焦点在 $y$ 轴上时把上面所有式子里的 $x$ 换成 $y$， 结论一模一样。但这句话要写出来，不能默默假设 （详见易错点「焦点在哪个轴上未讨论」）。
• 忘了检查 $\dfrac{a^{2}}{c}>c$。只有准线在焦点外侧，四个点才按 $-\dfrac{a^{2}}{c},-c,c,\dfrac{a^{2}}{c}$ 的顺序排， 「切成三段」才说得通。事实上 $\dfrac{a^{2}}{c}-c=\dfrac{b^{2}}{c}>0$ 恒成立， 这一条对任何椭圆都自动满足——但你得知道它自动满足，而不是没想过。
• 解出 $e^{2}=\dfrac13$ 后写成 $e=\pm\dfrac{\sqrt3}{3}$。离心率按定义是正数，负根直接舍。
• 把答案写成 $\dfrac{1}{\sqrt3}$ 就交卷。数值不错，但分母有根号， 标准答案是有理化后的 $\dfrac{\sqrt3}{3}$；填空题按规范写。