齐次方程同除降成离心率

解题套路

求离心率的题，八成的力气花在列式上；列出来之后往往长这样：

它们有一个共同点：每一项的次数都相同（齐次）。于是两边同除以 $a$ 的那个次数， 每一项都变成 $\dfrac{c}{a}$ 的幂：

$a$、$c$ 各自是多少根本不用知道，一个方程就把 $e$ 解出来了。

用之前先把式子化齐次

列式时若冒出 $b$，用 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$（椭圆）或 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$（双曲线）换掉， 式子就重新齐次了。若冒出常数项（比如 $a-c=1$），那就不是齐次式， 这条路不通——得先把那个常数消掉，或者老老实实解出 $a$、$c$ 再求比。

解出来还要筛

同除之后常得到关于 $e$ 的一元二次方程，两个根里往往只有一个能用：

• 椭圆 $0<e<1$，双曲线 $e>1$，抛物线 $e=1$；
• $e>0$ 恒成立，负根直接扔。

先按曲线类型把范围写出来，再去对根，别把两个根都端上去。

反过来也成立

题目给的是 $e$、要求 $a$ 与 $c$ 的某个关系时，把 $c=ae$ 代进去同样能一次消掉一个字母—— 这条路来回都能走。