浙江 2008 · 数学 q07

冷启动：把「准线」和「两个距离」摆到数轴上

题目给的是标准位置的双曲线

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\qquad(a>0,\ b>0)$$

已知两个焦点到一条准线的距离之比为 $3:2$，求离心率。

① 先把三个记号钉住。 这条双曲线中心在原点、焦点在 $x$ 轴上，三个常数的关系是

$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$

是加号——这一点最容易记反，记反了后面全错。 离心率定义为 $e=\dfrac{c}{a}$，由 $c>a>0$ 知 $e>1$。

② 准线是哪两条。 这条双曲线的准线是

$$x=\frac{a^{2}}{c}\qquad\text{与}\qquad x=-\frac{a^{2}}{c}$$

两条竖直线，关于 $y$ 轴对称。（准线这一节不在现行人教A版的范围内， 它是 2008 年教材里的内容——这道题考的正是它，所以这里把它当已知直接用。） 注意 $\dfrac{a^{2}}{c}<a<c$，所以两条准线都夹在两个顶点之间，比焦点离中心近得多—— 下面那张图上看得最清楚。

③ 「一条准线」取哪条都一样。 整个图形关于 $y$ 轴对称：取左准线， 无非是把左右两个焦点的角色对调，得到的还是那两段长度，比值也一样。 所以不妨取右准线 $x=\dfrac{a^{2}}{c}$。

④ 两个距离各是多少。 焦点是 $F_{1}(-c,0)$ 与 $F_{2}(c,0)$，到竖直线 $x=\dfrac{a^{2}}{c}$ 的距离 就是横坐标之差的绝对值：

$$d_{2}=\left|c-\frac{a^{2}}{c}\right|=c-\frac{a^{2}}{c}\quad(\text{右焦点，近}), \qquad d_{1}=\left|-c-\frac{a^{2}}{c}\right|=c+\frac{a^{2}}{c}\quad(\text{左焦点，远})$$

（$d_{2}$ 去绝对值用到 $c>\dfrac{a^{2}}{c}$，即 $c^{2}>a^{2}$，这对双曲线永远成立。）

⑤ 谁配 $3$、谁配 $2$。 显然 $d_{1}>d_{2}$（一个是 $c$ 加一截、一个是 $c$ 减一截）， 所以题面那个 $3:2$ 只能是

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{3}{2}$$

配反了会怎样？ 若写成 $\dfrac{d_{1}}{d_{2}}=\dfrac{2}{3}$，一路算下去会得到 $c^{2}=-5a^{2}$， 无解——所以这个坑自己会露馅，但白算一遍。先比大小再配数，一秒的事。

解法一：按坐标把两个距离写出来，比一比

怎么想到的。 冷启动已经把两个距离写成了 $a$、$c$ 的式子，那就直接把题面那句话抄成方程， 再解。这是最不需要技巧的一条路——代价只是中间会出现分式，得记得通分。

① 列式。

$$\frac{c+\dfrac{a^{2}}{c}}{c-\dfrac{a^{2}}{c}}=\frac{3}{2}$$

② 去掉小分母。 分子分母同乘 $c$（$c>0$，乘它不改变符号，也不会乘出增根）：

$$\frac{c^{2}+a^{2}}{c^{2}-a^{2}}=\frac{3}{2}$$

③ 交叉相乘。 分母 $c^{2}-a^{2}=b^{2}>0$，不为零，可以放心交叉相乘：

$$2\left(c^{2}+a^{2}\right)=3\left(c^{2}-a^{2}\right) \implies 2c^{2}+2a^{2}=3c^{2}-3a^{2} \implies c^{2}=5a^{2}$$

④ 换成离心率。 两边同除以 $a^{2}>0$：

$$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=5\implies e=\sqrt{5}$$

（$e>0$，负根舍去。到这里才算完——$e^{2}=5$ 不是答案，选项 B 就是 $5$。）故选 D。

解法二：一上来就把 $a$、$c$ 换成 $e$

怎么想到的。 题目问的只有 $e$ 一个数，而条件里出现的 $a$、$c$ 都只以比值的形式起作用 （把 $a$、$c$ 同时放大 $\lambda$ 倍，双曲线只是整体放大，两个距离同倍放大、比值不变）。 既然如此，就别等到最后再除——齐次方程同除降成离心率 说的正是这件事： 一开始就用 $e$ 把每个量表示出来，方程里从头到尾只有一个未知数。

① 用 $a$ 与 $e$ 表示两个量。 由 $e=\dfrac{c}{a}$ 得 $c=ae$；再把准线的横坐标也换过去：

$$\frac{a^{2}}{c}=\frac{a^{2}}{ae}=\frac{a}{e}$$

② 两个距离。

$$d_{1}=c+\frac{a^{2}}{c}=ae+\frac{a}{e}=a\left(e+\frac{1}{e}\right), \qquad d_{2}=c-\frac{a^{2}}{c}=ae-\frac{a}{e}=a\left(e-\frac{1}{e}\right)$$

（$d_2>0$ 需要 $e>\dfrac1e$，即 $e>1$——双曲线本来就满足，顺手确认一下。）

③ 相比，$a$ 当场消掉。

$$\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{e+\dfrac{1}{e}}{e-\dfrac{1}{e}} =\frac{e^{2}+1}{e^{2}-1}=\frac{3}{2}$$

（上下同乘 $e>0$ 即得中间那一步。）

④ 解这个只含 $e$ 的方程。 分母 $e^{2}-1>0$，交叉相乘：

$$2\left(e^{2}+1\right)=3\left(e^{2}-1\right)\implies e^{2}=5\implies e=\sqrt{5}$$

选 D。

这条路好在哪。 全程只有一个未知数，不会出现「解出 $a$、$c$ 两个数却发现它们不唯一」的困惑 （本题的 $a$ 确实不唯一——任何 $a>0$ 配上 $c=\sqrt5\,a$ 都满足条件，题目问的本来就只有比值）。 凡是「只问离心率」的题，这一招几乎总能用。

解法三：不解方程组：两个距离的和与差都有名字

怎么想到的。 前两条路都在解一个分式方程。可这两个距离摆在一条数轴上， 和与差都有现成的几何意义——看出来之后，一步就能把 $a$、$c$ 的关系读出来， 连通分都省了。这是「与其解方程，不如先找结构」的典型。

① 设出两段。 题面给的是比，设 $d_{1}=3k$、$d_{2}=2k$（$k>0$）。

② 看它们的和。 由冷启动写出的两个式子，

$$d_{1}+d_{2}=\left(c+\frac{a^{2}}{c}\right)+\left(c-\frac{a^{2}}{c}\right)=2c$$

$\dfrac{a^{2}}{c}$ 一加一减正好抵消，剩下 $2c$——这就是焦距（两个焦点之间的距离）。 图上看也一目了然：准线在两焦点之间，两段拼起来就是整条 $F_{1}F_{2}$。于是

$$5k=2c$$

③ 看它们的差。

$$d_{1}-d_{2}=\frac{2a^{2}}{c}$$

这个量也有名字：$\dfrac{2a^{2}}{c}$ 正是两条准线之间的距离（两条准线是 $x=\pm\dfrac{a^{2}}{c}$， 相距 $\dfrac{2a^{2}}{c}$——是两倍，不是 $\dfrac{a^{2}}{c}$，那个只是中心到其中一条的距离）。于是

$$k=\frac{2a^{2}}{c}$$

④ 两式一并，$k$ 消掉。 把 ③ 代进 ②：

$$2c=5\cdot\frac{2a^{2}}{c}\implies c^{2}=5a^{2}\implies e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$$

选 D。

为什么这条路值得学。 「两个焦点到同一条准线的距离」这种配置里， 和恒等于焦距 $2c$、差恒等于两准线间距 $\dfrac{2a^{2}}{c}$——两个量都不必再算一次。 把比例题换成「和为多少」「差为多少」的题，这条路照样一步到位。

三条路回头看。 解法一最直白，照定义把两个距离写出来再比，任何时候都想得到； 代价是分式方程要通分、交叉相乘，中间多两步。解法二把「只问离心率」这个特点用足了： 一开始就让方程里只剩 $e$，$a$ 自动消失——凡是齐次的条件都能这么办，是求离心率的通用兵法。 解法三根本没解分式方程，它先认出「和 $=2c$、差 $=$ 两准线间距」这个结构， 两句话就把关系写完了；它最快，但要求你先看得出结构，看不出就退回前两条。

四个选项里最危险的是 B。 三条路算到最后都会出现 $e^{2}=5$，那不是答案—— 停在这里的人会选 $5$（选项 B）。另外，若把准线误当成顶点 $x=\pm a$ 来算， 会得到 $\dfrac{c+a}{c-a}=\dfrac32$，解出 $c=5a$、$e=5$，又落到 B。 同一个选项接住了两种完全不同的错法，出题人是有意的。

🕳️ 避坑

• 双曲线的三个常数是 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，加号。 记成减号就会得到 $c<a$、$e<1$， 与双曲线必有 $e>1$ 当场矛盾。本题虽然没直接用到 $b$，但去 $d_{2}$ 的绝对值时用了 $c>a$， 靠的正是这条关系。
• 算到 $e^{2}=5$ 要再开一次方。 问的是离心率 $e$，不是 $e^{2}$。$\sqrt5\approx 2.24$， 而 $5$ 作为双曲线的离心率也完全合法（$e>1$），所以光靠「合不合理」查不出这个错， 只能靠落笔前再读一遍题问的是什么。
• 先比大小，再把 $3$ 和 $2$ 配上去。 $d_{1}>d_{2}$ 是图上一眼的事。配反了要白算一遍 才发现 $c^{2}=-5a^{2}$ 无解。
• 准线是 $x=\pm\dfrac{a^{2}}{c}$，不是 $x=\pm a$，更不是 $x=\pm c$。 三条竖线在图上离得很近 （$\dfrac{a^{2}}{c}<a<c$），凭印象画容易串。把准线当顶点算，正好掉进选项 B。
• 两准线之间的距离是 $\dfrac{2a^{2}}{c}$。 只写 $\dfrac{a^{2}}{c}$ 的是中心到一条准线的距离， 差一倍。解法三第 ③ 步正是在用这个量，写成一半会把 $c^{2}=5a^{2}$ 算成 $c^{2}=\dfrac{5}{2}a^{2}$。