3.3 抛物线

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3.3 抛物线

通过前面的学习可以发现，如果动点 $M$ 到定点 $F$ 的距离与 $M$ 到定直线 $l$ （不过点 $F$ ）的距离之比为 $k$ ，当 $0 < k < 1$ 时，点 $M$ 的轨迹为椭圆；当 $k > 1$ 时，点 $M$ 的轨迹为双曲线。一个自然的问题是：当 $k = 1$ 时，即动点 $M$ 到定点 $F$ 的距离与它到定直线 $l$ 的距离相等时，点 $M$ 的轨迹会是什么形状？下面我们就来研究这个问题。

3.3.1 抛物线及其标准方程

探究

利用信息技术作图. 如图 3.3-1, F 是定点, l 是不经过点 F 的定直线, H 是直线 l 上任意一点, 过点 H 作 $MH \perp l$ , 线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M. 拖动点 H, 点 M 随之运动, 你能发现点 M 满足的几何条件吗? 它的轨迹是什么形状?

可以发现，在点 $M$ 随着点 $H$ 运动的过程中，始终有 $|MF| = |MH|$，即点 $M$ 与定点 $F$ 的距离等于它到定直线 $l$ 的距离，点 $M$ 的轨迹形状与二次函数的图象相似.

我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）。点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

思考

比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？

根据抛物线的几何特征，如图3.3-2，我们取经过点 $F$ 且垂直于直线 $l$ 的直线为 $x$ 轴，垂足为 $K$ ，并使原点与线段 $KF$ 的中点重合，建立平面直角坐标系 $Oxy$ 。设 $|KF| = p(p > 0)$ ，那么焦点 $F$ 的坐标为 $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ ，准线 $l$ 的方程为 $x = -\frac{p}{2}$ 。

设 $M(x, y)$ 是抛物线上任意一点，点 $M$ 到准线 $l$ 的距离为 $d$。由抛物线的定义，

抛物线是点的集合

$P = \{M \mid | M F | = d \}.$

因为 $|MF| = \sqrt{\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2}$, $d = \left|x + \frac{p}{2}\right|$,

所以

$\sqrt {\left(x - \frac {p}{2}\right) ^ {2} + y ^ {2}} = \left| x + \frac {p}{2} \right|.$

将上式两边平方并化简，得

y ^ {2} = 2 p x (p > 0).\tag{①}

图3.3-2

从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点 $(x, y)$ 与抛物线的焦点 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ 的距离和它到准线 $x = -\frac{p}{2}$ 的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上。我们把方程①叫做抛物线的标准方程。它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，准线是 $x = -\frac{p}{2}$ 的抛物线。

探究

思考

你能说明二次函数 $y = ax^{2} (a \neq 0)$ 的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.

例1（1）已知抛物线的标准方程是 $y^{2} = 6x$，求它的焦点坐标和准线方程；

(2) 已知抛物线的焦点是 $F(0, -2)$ ，求它的标准方程.

解：（1）因为 $p = 3$ ，抛物线的焦点在 $x$ 轴正半轴上，所以它的焦点坐标是 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$，准线方程是 $x = -\frac{3}{2}$.

（2）因为抛物线的焦点在 $y$ 轴负半轴上，且 $\frac{p}{2} = 2$ ， $p = 4$ ，所以抛物线的标准方程是$x^{2} = -8y$

例 2 一种卫星接收天线如图 3.3-3 左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线。在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图 3.3-3（1）。已知接收天线的口径（直径）为 4.8 m，深度为 1 m。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。

解：如图 3.3-3（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在 x 轴上.

设抛物线的标准方程是 $y^{2} = 2px$ ($p > 0$)。由已知条件得，点 $A$ 的坐标是（1，2.4），代入方程，得

$2. 4 ^ {2} = 2 p \times 1,$

即 $p = 2.88$.

所以，所求抛物线的标准方程是 $y^{2}=5.76x$ ，焦点坐标是 $(1.44,0)$ .

练习

1. 根据下列条件写出抛物线的标准方程:

(1) 焦点是 $F(3, 0)$ ; (2) 准线方程是 $x = -\frac{1}{4}$ ; (3) 焦点到准线的距离是 2.

2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) $y^{2}=20x$ ; (2) $x^{2}=\frac{1}{2}y$ ; (3) $2y^{2}+5x=0$ ; (4) $x^{2}+8y=0$ .

3. 填空.

(1) 抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上一点 M 与焦点间的距离是 $a\left(a>\frac{p}{2}\right)$ ，则点 M 到准线的距离是 ____，点 M 的横坐标是 ____；

(2) 抛物线 $y^{2}=12x$ 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 ____.

69 探究与发现

为什么二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象是抛物线

我们知道，二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象是抛物线。经过本节的学习我们知道，抛物线是平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ （$l$ 不经过点 $F$）的距离相等的点的轨迹。因此，只要能说明二次函数的图象符合抛物线的几何特征，就解决了为什么二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象是抛物线的问题。由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将 $y = ax^2 + bx + c$ 转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以说明二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象是抛物线。

按照这种思路，我们对 $y = ax^{2} + bx + c$ 的右边配方，得

$y = a \left(x + \frac {b}{2 a}\right) ^ {2} + \frac {4 a c - b ^ {2}}{4 a}.$

由函数图象平移的性质可以知道，沿向量 $m=\left(\frac{b}{2a},-\frac{4ac-b^{2}}{4a}\right)$ 平移函数 $y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}+\frac{4ac-b^{2}}{4a}$ 的图象（图1），除了位置外，函数图象不发生任何变化。平移后的图象对应的函数解析式为

$y=ax^{2}$ ，即 $x^{2}=\frac{1}{a}y$ ，这个方程表示的曲线是顶点为原点，焦点为 $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$ 的抛物线。 因此，二次函数 $y=ax^{2}+bx+c$ 的图象是一条抛物线.