浙江 2025 · 数学 q10

冷启动：三个数，和题面里藏着的一句话

假设你刚认识抛物线。这道多选题给的条件不多，但有一句话是藏起来的——认出它，四个选项里的一个当场就解决了。

第一步：与标准方程对上。 抛物线的标准方程是 $y^{2}=2px\ (p>0)$，它的焦点是 $F\!\left(\dfrac p2,0\right)$、准线是 $x=-\dfrac p2$。本题 $y^{2}=6x$，所以

$$2p=6,\quad p=3,\qquad F\!\left(\tfrac32,\,0\right),\qquad \text{准线：}\ x=-\tfrac32$$

第二步：那句藏起来的话。 题面只说「直线 $l:x=-\dfrac32$」，可刚算出来的准线正是这条线。题目故意不点明，就是要你自己算一遍——后面每一步都从这件事上长出来。

第三步：定义。 抛物线的定义说：曲线上任一点到焦点 $F$ 的距离，等于它到准线的距离。而 $D$ 是 $A$ 在准线上的垂足，所以 $|AD|$ 就是「$A$ 到准线的距离」，$|AF|$ 就是「$A$ 到焦点的距离」——定义的原话正是这两者相等：

$$|AD|=|AF|\qquad\Longrightarrow\qquad \textbf{A 正确}$$

这一步用的就是本题的主套路 焦半径化准线距离：见到焦半径，就换成到准线的距离。 两条路都要反复用它。

剩下的 B、C、D 都得把长度真算出来，这就是典型的 抛物线的焦点弦 问题。好消息是：图里唯一的自由度只有一个——$AB$ 这条弦有多斜。把「有多斜」记成一个字母，三个长度就都成了它的函数，最小值也就看得见了。两条路的分歧只在用哪个字母、要不要坐标：

• 解法一：设出 $AB$ 的方程、联立、用韦达定理，把几何全部翻译成代数；
• 解法二：一个坐标都不设，用 $AB$ 与对称轴的夹角当那个字母，全程只用定义和初中的全等、相似。

解法一：设直线联立，用韦达定理算长度

怎么想到的。 过焦点的弦问题有一条机械可走的路：把直线设出来，与抛物线联立成一个一元二次方程，两个交点的纵坐标就被韦达定理的「和」与「积」整体接管了——从此不必知道 $A$、$B$ 各自在哪，只用它们的和与积就能拼出所有长度。这条路不需要看出任何几何关系，代价是要先把设法挑对。

先挑设法（这一步比看起来重要）。 过 $F\!\left(\tfrac32,0\right)$ 的直线有两种写法：

• $y=k\!\left(x-\dfrac32\right)$——「斜率」的写法，可它表示不出竖直那条弦（斜率不存在），必须单独讨论一次；
• $x=my+\dfrac32$——「斜率的倒数」的写法，$m=0$ 时它就是竖直的 $x=\dfrac32$，一个式子全包。

本题用第二种。省事只是次要理由，关键是它一条都不漏：$AB$ 一定不是水平的（水平的那条是对称轴 $y=0$，它与 $y^{2}=6x$ 只交于原点一个点，成不了弦），而竖直那条弦恰恰是待会儿 C、D 取等号的那一条。用第一种写法忘记讨论它，等号就没了。

联立。 把 $x=my+\dfrac32$ 代进 $y^{2}=6x$：

$$y^{2}=6\left(my+\tfrac32\right)=6my+9\qquad\Longrightarrow\qquad y^{2}-6my-9=0$$

判别式 $\Delta=36m^{2}+36>0$ 恒成立（任何 $m$ 都真有两个交点，不必再验）。记 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，韦达定理给出

$$y_1+y_2=6m,\qquad y_1y_2=-9$$

把两条焦半径写出来。 用 焦半径化准线距离：$|AF|$ 等于 $A$ 到准线 $x=-\tfrac32$ 的距离，即 $x_1+\dfrac32$；再把 $x_1=my_1+\dfrac32$ 代进去，$\dfrac32+\dfrac32=3$：

$$|AF|=x_1+\tfrac32=my_1+3,\qquad |BF|=my_2+3$$

选项 C。 $F$ 在弦 $AB$ 上，所以 $|AB|=|AF|+|BF|$，和里只出现 $y_1+y_2$：

$$|AB|=m(y_1+y_2)+6=6m^{2}+6=6\left(m^{2}+1\right)\ \ge\ 6$$

因为 $m^{2}\ge0$，等号只在 $m=0$ 取到——那正是竖直的那条弦，也就是通径（长 $2p=6$）。C 正确。

顺手把乘积也算出来，D 要用（这里 $y_1y_2$ 与 $y_1+y_2$ 各出一次）：

$$|AF|\cdot|BF|=(my_1+3)(my_2+3)=m^{2}y_1y_2+3m(y_1+y_2)+9=-9m^{2}+18m^{2}+9=9\left(m^{2}+1\right)$$

再把 $E$ 找出来。 $x=my+\dfrac32$ 说明 $AB$ 的走向是「$y$ 增 $1$、$x$ 增 $m$」，与它垂直的那条过 $F$ 的直线可以写成

$$y=-m\left(x-\tfrac32\right)$$

（$m=0$ 时它就是 $x$ 轴，正对应竖直的 $AB$，所以这一个式子同样全包。）令 $x=-\dfrac32$：

$$E\left(-\tfrac32,\ 3m\right)$$

留意 $3m=\dfrac{y_1+y_2}{2}$——$E$ 与弦 $AB$ 的中点等高。下一步全靠这句话。

算 $|AE|$。 $A$ 与 $E$ 的横向差是 $x_1+\dfrac32$，那正是 $|AF|$；纵向差是

$$y_1-3m=y_1-\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{y_1-y_2}{2}$$

而

$$\left(\frac{y_1-y_2}{2}\right)^{2}=\frac{(y_1+y_2)^{2}-4y_1y_2}{4}=\frac{36m^{2}+36}{4}=9\left(m^{2}+1\right)$$

这正好是刚算出的 $|AF|\cdot|BF|$。 于是勾股定理给出

$$|AE|^{2}=|AF|^{2}+|AF|\cdot|BF|=|AF|\big(|AF|+|BF|\big)=|AF|\cdot|AB|$$

同理 $|BE|^{2}=|BF|\cdot|AB|$。两个又短又好用的等式，是这条路真正的收获。

选项 B。 由 $|AB|=|AF|+|BF|>|AF|$ 得 $|AE|^{2}=|AF|\cdot|AB|<|AB|^{2}$，所以

$$|AE|<|AB|\quad(\text{对每条弦都成立})\qquad\Longrightarrow\qquad \textbf{B 错误}$$

选项 D。 两个等式相乘：

$$|AE|^{2}\cdot|BE|^{2}=|AF|\cdot|BF|\cdot|AB|^{2}=9\left(m^{2}+1\right)\cdot 36\left(m^{2}+1\right)^{2}=324\left(m^{2}+1\right)^{3}$$

都是长度、取正根：

$$|AE|\cdot|BE|=18\left(m^{2}+1\right)^{\frac32}\ \ge\ 18$$

等号同样只在 $m=0$。D 正确。

这两个下界为什么都只在 $m=0$ 取等。 刚算出的 $6(m^{2}+1)$ 与 $18(m^{2}+1)^{\frac32}$ 里，$m$ 只以 $m^{2}$ 出现：把 $m$ 换成 $-m$ 值一点不变，两式都关于 $m=0$ 左右对称；而 $m$ 从 $0$ 往右走时 $m^{2}$ 只增不减，两式便从 $m=0$ 处的 $6$ 与 $18$ 一路上升。合起来——往两侧都只增不减，「$\ge$」里的等号便只有 $m=0$ 那一处，也就是弦垂直于对称轴的通径。

再说这幅图。 它刻意不画取等的那条通径，而是取了一条一般的斜弦（$m=\dfrac34$）：$A$、$B$ 一高一低，$D$ 与 $E$ 才分得开、$\angle AEB$ 的直角记号才看得清。所以图上那个 $|AD|=|AF|=7.500$ 是这条斜弦上的焦半径，与通径的 $3$ 无关；这条弦的长度是 $|AB|=6\left(\left(\tfrac34\right)^{2}+1\right)=9.375$，比下界 $6$ 大出一截——一般位置上「$\ge$」是严格大于，要等弦转到竖直（$m=0$）才收成等号。图上另标的 $\angle AEB=90^\circ$，是下一条路要动手证的东西。

解法二：不设坐标，用定义与相似算长度

怎么想到的。 解法一把几何全翻译成了代数，代价是式子里看不见图：$m$ 是什么，图上指不出来。那就换一个能在图上指出来的自由度——射线 $FA$ 与对称轴的夹角 $\theta$。而定义（焦半径 $=$ 到准线的距离）恰好能把两条焦半径直接写成 $\theta$ 的式子，于是一个坐标都不用设。

第一步：焦半径的角公式（这条路的发动机）。 记射线 $FA$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta$，则 $0^\circ<\theta<180^\circ$（$\theta$ 取 $0^\circ$ 或 $180^\circ$ 时 $AB$ 就是对称轴，与抛物线只有一个交点、成不了弦）。$B$ 在 $F$ 的另一侧，射线 $FB$ 与 $FA$ 反向，所以它与 $x$ 轴正方向的夹角是 $180^\circ-\theta$——这个差别待会儿只落在一个符号上。

焦点到准线的距离恰好是 $p=3$（从 $x=\tfrac32$ 到 $x=-\tfrac32$）。记 $|AF|=r_A$，那么 $A$ 比 $F$ 又往右挪了 $r_A\cos\theta$（$\theta$ 是钝角时这个数为负，式子照样成立），于是

$$A\ \text{到准线的距离}=3+r_A\cos\theta$$

而抛物线的定义说，这个距离就等于 $r_A$：

$$r_A=3+r_A\cos\theta\qquad\Longrightarrow\qquad r_A=\frac{3}{1-\cos\theta}$$

对 $B$ 把同一句话再说一遍——夹角换成 $180^\circ-\theta$，而 $\cos\left(180^\circ-\theta\right)=-\cos\theta$，全式只有这一个符号变了：

$$r_B=|BF|=\frac{3}{1+\cos\theta}$$

选项 C。 两段一加，分母凑成平方差：

$$|AB|=r_A+r_B=\frac{3(1+\cos\theta)+3(1-\cos\theta)}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}=\frac{6}{1-\cos^{2}\theta}=\frac{6}{\sin^{2}\theta}$$

$\theta\in(0^\circ,180^\circ)$ 时 $0<\sin^{2}\theta\le1$，分母最大只能到 $1$，所以

$$|AB|=\frac{6}{\sin^{2}\theta}\ \ge\ 6$$

等号在 $\sin\theta=1$，即 $\theta=90^\circ$：$AB$ 垂直于对称轴，就是通径。C 正确。

第二步：$\angle AEB$ 是直角（全等用两次）。 题面只给了 $A$ 的垂足 $D$，我们把 $B$ 到准线的垂足也补上，记作 $P$。

• $AD\perp l$ 给出 $\angle ADE=90^\circ$；$EF\perp AB$ 而 $A$、$F$ 都在 $AB$ 上，给出 $\angle AFE=90^\circ$。两个直角三角形 $ADE$ 与 $AFE$ 共用斜边 $AE$，又有一组直角边相等（$|AD|=|AF|$，就是开头那条定义），由「斜边、直角边」判定得 $\triangle ADE\cong\triangle AFE$。于是 $\angle AED=\angle AEF$，并且 $|ED|=|EF|$。
• 同理 $\triangle BPE\cong\triangle BFE$，于是 $\angle BEP=\angle BEF$，并且 $|EP|=|EF|$。
• 两式一比得 $|ED|=|EP|$。$D$ 与 $P$ 都在准线上、又互不重合（$A$、$B$ 分居对称轴两侧，垂足高低不同），到 $E$ 却等距——所以 $E$ 正是线段 $DP$ 的中点，$D$、$P$ 分居 $E$ 的两侧。

$ED$ 与 $EP$ 既然是准线上方向相反的两条射线，从 $ED$ 转到 $EP$ 依次经过 $EA$、$EF$、$EB$，四个角拼成一个平角：

$$\angle AED+\angle AEF+\angle BEF+\angle BEP=180^\circ$$

而它们两两相等，所以 $2\left(\angle AEF+\angle BEF\right)=180^\circ$，即

$$\angle AEB=\angle AEF+\angle BEF=90^\circ$$

选项 B。 既然 $\angle AEB=90^\circ$，$AB$ 就是直角三角形 $AEB$ 的斜边。斜边严格长于任一直角边，故 $|AE|<|AB|$ 对每条弦都成立，永远不可能相等。B 错误。

第三步：直角三角形里的相似。 看 $\triangle AEB$ 与 $\triangle AFE$：$F$ 在 $AB$ 上，所以 $\angle EAF$ 与 $\angle EAB$ 是同一个角（公共角）；又 $\angle AEB=\angle AFE=90^\circ$。两角对应相等，故

$$\triangle AEB\sim\triangle AFE\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{|AE|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AE|}\qquad\Longrightarrow\qquad |AE|^{2}=|AF|\cdot|AB|$$

同理 $|BE|^{2}=|BF|\cdot|AB|$。几何上就一句话：$EF$ 是斜边上的高，它把两条直角边各变成一段比例中项。这两个等式与解法一算出来的一模一样——那边靠坐标与韦达定理，这边靠一次相似。

选项 D。 先算焦半径的乘积（分母又是平方差）：

$$|AF|\cdot|BF|=r_Ar_B=\frac{9}{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta)}=\frac{9}{\sin^{2}\theta}$$

于是

$$|AE|^{2}\cdot|BE|^{2}=|AF|\cdot|BF|\cdot|AB|^{2}=\frac{9}{\sin^{2}\theta}\cdot\frac{36}{\sin^{4}\theta}=\frac{324}{\sin^{6}\theta}$$ $$|AE|\cdot|BE|=\frac{18}{\sin^{3}\theta}\ \ge\ 18$$

等号还是在 $\theta=90^\circ$。D 正确。

两条路对得上，而且差别正在这里

两个字母其实是同一件事：$AB$ 的走向是「$y$ 增 $1$、$x$ 增 $m$」，而 $A$ 在对称轴上方时射线 $FA$ 的方向是 $(\cos\theta,\sin\theta)$（$\sin\theta>0$），两者平行，所以（$A$ 在下方时 $m$ 只是变号，而下面只用到 $m^{2}$）

$$m=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\qquad m^{2}+1=\frac{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{1}{\sin^{2}\theta}$$

代进两条路的结论，逐项相同：

$$6\left(m^{2}+1\right)=\frac{6}{\sin^{2}\theta},\qquad 18\left(m^{2}+1\right)^{\frac32}=\frac{18}{\sin^{3}\theta}$$

$m=0$ 与 $\theta=90^\circ$ 说的也是同一条弦（通径）。两条互不依赖的路给出同一组式子，这本身就是一次验算。

差在哪。 解法一机械：设线、联立、韦达，任何过焦点的弦都能照抄，不需要看出一条几何关系；代价是式子里看不见图，而且设法必须挑对——按斜率去设就会漏掉取等的那一条。解法二换来的是能带走的通式：对 $y^{2}=2px$，同一套推导直接给出

$$|AB|=\frac{2p}{\sin^{2}\theta}\ \ge\ 2p,\qquad |AE|\cdot|BE|=\frac{2p^{2}}{\sin^{3}\theta}\ \ge\ 2p^{2}$$

换一条抛物线只需换 $p$（本题 $p=3$：$2p=6$、$2p^{2}=18$，正是 C、D 里那两个数）；代价是要先看出 $\angle AEB=90^\circ$，而那一步藏在图里、不在式子里。

结论：A、C、D 成立，B 不成立，故选 ACD。

🕳️ 避坑

• 别把 $l:x=-\dfrac32$ 当成随手给的一条竖直线。先算出 $p=3$、准线是 $x=-\dfrac32$，认出它就是准线，A 才是一句定义的事；认不出来，A 就变成一道没头绪的题。
• B 项看着「像」相等，其实差得不小：通径那条弦上 $|AE|=|BE|=3\sqrt2\approx4.24$，而 $|AB|=6$。更本质的理由是 $AB$ 是直角三角形 $AEB$ 的斜边，$|AE|<|AB|$ 恒成立。
• 「$\ge$」型选项要的是最小值，不是某个特殊位置的值：算出通径处 $|AE|\cdot|BE|=18$ 只说明 $18$ 是候选临界值，还得有 $18(m^{2}+1)^{\frac32}$（或 $\dfrac{18}{\sin^{3}\theta}$）这样的一般式子说明别处只会更大，才算判完。
• 取等的那条弦是通径（垂直于对称轴的那条）。若按 $y=k\!\left(x-\dfrac32\right)$ 设线，它落在「斜率不存在」那一支上——漏掉那一支，C、D 的等号就没了，$\ge$ 会被误判成 $>$。