浙江 2011 · 数学 q08

冷启动：题面里没有一句话说焦点在哪条轴上

给的是

$$\frac{x^{2}}{k+8}+\frac{y^{2}}{9}=1 ,\qquad e=\frac{1}{2} ,$$

求 $k$。整道题的计算量只有一个一元一次方程，难的地方在方程还没列之前：

$$\underbrace{9}_{\text{死的}}\qquad\text{与}\qquad\underbrace{k+8}_{\text{活的}}$$

哪一个是 $a^{2}$（长半轴的平方）？题面没说。而 $a$ 是大的那个——所以在定下 「$k+8$ 与 $9$ 谁大」之前，$c^{2}=a^{2}-b^{2}$ 这一步根本写不出来。

先把它是不是椭圆钉住。 方程要表示椭圆，两个分母都得是正的且不相等：

$$k+8>0 \quad\text{且}\quad k+8\neq 9 \qquad\Longleftrightarrow\qquad k>-8 \quad\text{且}\quad k\neq 1 .$$

（$k+8=9$ 时它是半径 $3$ 的圆，$e=0\neq\dfrac12$，本来也进不了答案。） 剩下的 $k>-8$ 被这条线切成两段，正好就是下面要分的两支。

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解法一：按 $k+8$ 与 $9$ 谁大谁小分两支，各解一次

情形一：$k+8>9$，即 $k>1$（长轴在 $x$ 轴上）

$$a^{2}=k+8,\qquad b^{2}=9,\qquad c^{2}=a^{2}-b^{2}=k-1 .$$ $$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{k-1}{k+8}=\frac{1}{4} \ \Longrightarrow\ 4(k-1)=k+8 \ \Longrightarrow\ 3k=12 \ \Longrightarrow\ k=4 .$$

回本支的范围里验一次：$4>1$，落在 $k>1$ 里，这个解留。

情形二：$0<k+8<9$，即 $-8<k<1$（长轴在 $y$ 轴上）

这一支里 $a^{2}$ 与 $b^{2}$ 互换了位置：

$$a^{2}=9,\qquad b^{2}=k+8,\qquad c^{2}=a^{2}-b^{2}=1-k .$$ $$e^{2}=\frac{1-k}{9}=\frac{1}{4} \ \Longrightarrow\ 1-k=\frac{9}{4} \ \Longrightarrow\ k=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4} .$$

再验一次：$-\dfrac{5}{4}\in(-8,1)$，落在本支里，这个解也留。

落子

两支各给一个合格的 $k$，谁也淘汰不掉谁：

$$k=4\quad\text{或}\quad k=-\frac{5}{4} ,$$

选 C。

那句「回本支的范围里验一次」不是走过场。 每一支的方程都是在「$a^{2}$ 是谁」这个假设 下列出来的；解出来的 $k$ 如果不落在该假设的范围里，说明假设与结论自相矛盾，那个根是假根， 必须扔。本题两支恰好都留下了，所以答案有两个——但这是算出来的，不是默认的。

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解法二：选项里只出现三个数，逐个代回算离心率

四个选项一共只提到三个不同的数：$4$、$\dfrac{5}{4}$、$-\dfrac{5}{4}$。 每个都是具体的数，代回去就能算出离心率——比正面解方程更省事，也不必事先分类： 代进去之后两个分母都是具体数字，谁大谁小当场看得见。

（$\dfrac{37}{4}=9.25>9$，$\dfrac{27}{4}=6.75<9$——这两句比大小是上表第三列的全部依据。）

合格的恰好是 $4$ 与 $-\dfrac{5}{4}$，$\dfrac{5}{4}$ 不合格。选择题的四个选项里有且只有一个 是正确的取值集合，那么它必须同时含 $4$ 与 $-\dfrac54$、且不含 $\dfrac54$：

• A $=\left\{4,\dfrac54\right\}$：含了不合格的 $\dfrac54$ —— 出局；
• B $=\{4\}$：漏了 $-\dfrac54$ —— 出局；
• D $=\left\{-\dfrac54\right\}$：漏了 $4$ —— 出局；
• C $=\left\{4,-\dfrac54\right\}$ —— 只剩它。

选 C。这条路全程没解过方程，只做了三次「代进去算一算」。

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解法三：设两个分母之比 $t$——两个答案本来就是一对倒数

前两条都在回答「谁大谁小」。这一条把那个分类推迟到最后一步，先看看不分类能走多远。

换元

令

$$t=\frac{k+8}{9} .$$

由「是椭圆」那两条，$t>0$ 且 $t\neq 1$。两个分母于是写成 $9$ 与 $9t$，而

$$c^{2}=\bigl|9t-9\bigr|=9\,|t-1| ,\qquad a^{2}=9\max(t,1) ,$$

（$a^{2}$ 取大的那个，$b^{2}$ 取小的那个——这是 $a$ 的定义，不是假设。）于是 $9$ 约掉：

$$e^{2}=\frac{|t-1|}{\max(t,1)} =\begin{cases} 1-t, & 0<t<1 ,\\[4pt] 1-\dfrac{1}{t}, & t>1 , \end{cases} \qquad\text{即}\qquad e^{2}=1-\min\!\left(t,\frac1t\right) .$$

条件 $e^{2}=\dfrac14$ 就成了一个方程：

$$\min\!\left(t,\frac{1}{t}\right)=\frac{3}{4} .$$

对称性一眼给出两个解

$\min\!\left(t,\dfrac1t\right)$ 这个式子把 $t$ 与 $\dfrac1t$ 看得一模一样： 把 $t$ 换成 $\dfrac1t$，式子的值不变。所以 $t$ 是解 $\iff$ $\dfrac1t$ 是解——解必然成对出现。

$0<t<1$ 时 $\min=t$，直接得 $t=\dfrac34$；配对的另一个就是 $t=\dfrac43$。 没有别的解：$\min\!\left(t,\dfrac1t\right)$ 在 $(0,1]$ 上等于 $t$、严格递增，在 $[1,+\infty)$ 上等于 $\dfrac1t$、严格递减，最大值 $1$ 只在 $t=1$ 处取到；而它的值恒为正，故落在 $(0,1)$ 内的每个值恰被取到两次，$\dfrac34$ 的两次已经数完。

回代

$k=9t-8$：

$$t=\frac34\ \Longrightarrow\ k=\frac{27}{4}-8=-\frac54 , \qquad t=\frac43\ \Longrightarrow\ k=12-8=4 .$$

两个都满足 $t>0$、$t\neq1$，选 C。

换元的代价，这道题恰好变成了红利。 设 $t=\dfrac ab$ 这类换元，通常的毛病是新方程对 $t\leftrightarrow\dfrac1t$ 对称、分不出该取哪一个，得再用题设的大小关系去取舍。 可这道题题面里根本没有那句大小关系——于是对称性不是要克服的麻烦，而是答案本身的结构： $\frac{k_{1}+8}{9}=\frac{12}{9}=\frac43 ,\qquad \frac{k_{2}+8}{9}=\frac{27/4}{9}=\frac34 ,$ 两个答案的比值互为倒数，一点也不是巧合。

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三条路怎么选

• 考场上用解法一：两支各四行，是这类题的标准动作，而且「解完回本支验范围」这个习惯 在别的两解题里同样救命。
• 解法二最快，前提是选项给的是具体的数。它把「分类」化成了「看两个具体数字谁大」， 连一元一次方程都不用列。缺点是换成填空题就用不了。
• 解法三是理解本题结构的那一条：它说清了「为什么答案偏偏有两个」——不是题目故意刁难， 是两个分母的地位可以互换，而互换在比值 $t$ 上正好是取倒数。

三条路互相独立地给出同一对 $k$，且都没有从选项反推：解法一、三是正面解方程， 解法二用的是「代回去算离心率」这个与选项无关的判据（它只在最后一步把合格集合与选项对号入座）。

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为什么另外三个选项是错的

• B（$4$）：只做了 $k+8>9$ 那一支就交卷——题面里并没有哪句话保证 $k+8>9$。 这是本题设计出来的主坑，官方【点评】里那句「本题易出现漏解」说的就是它。
• D（$-\dfrac54$）：反过来，只做了 $0<k+8<9$ 那一支。
• A（$4$ 或 $\dfrac54$）：两支都做了，但情形二最后一步把 $k=1-\dfrac94$ 写成了 $k=\dfrac94-1$， 符号搬反，$-\dfrac54$ 变成 $\dfrac54$。它是假解：$k=\dfrac54$ 时两个分母是 $\dfrac{37}{4}$ 与 $9$， $e^{2}=\dfrac{1}{37}$，离 $\dfrac14$ 差得远。移项之后代回去算一次，这个错当场就露。

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易错

1. 焦点在哪个轴上未讨论。 判据只有一句话：题面里有没有把焦点钉在某条轴上？ 本题只给了一个离心率，没有钉——那就是两解题。
2. 分类了，但没回本支验范围。 每一支的 $c^{2}$ 都是在该支的假设下写的； 解出的 $k$ 若不落回该支范围，是假根。本题两支都留，别的题未必。
3. 忘了「是椭圆」这个前提。 $k+8>0$ 且 $k+8\neq9$。少了它，$k=-9$ 这种数会混进讨论。
4. 换元后漏掉新变量的范围。 解法三里 $t=\dfrac{k+8}{9}$ 必须满足 $t>0$、$t\neq1$； 丢了这两条，$\min\!\left(t,\dfrac1t\right)$ 在 $t<0$ 上的样子会把假解放进来。