1.1 集合的概念

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1.1 集合的概念

在小学和初中，我们已经接触过一些集合。例如，自然数的集合，同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合（即圆）等。为了更有效地使用集合语言，我们需要进一步了解集合的有关知识。下面先从集合的含义开始。

看下面的例子：

(1) 1~10 之间的所有偶数；

(2) 立德中学今年入学的全体高一学生；

(3) 所有的正方形；

（4）到直线 $l$ 的距离等于定长 $d$ 的所有点；

(5) 方程 $x^{2}-3x+2=0$ 的所有实数根；

(6) 地球上的四大洋.

例（1）中，我们把 $1\sim 10$ 之间的每一个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合；同样地，例（2）中，把立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一个集合.

思考

上面的例（3）到例（6）也都能组成集合吗？它们的元素分别是什么？

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）.

给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了。例如，“1～10之间的所有偶数”构成一个集合，2，4，6，8，10是这个集合的元素，1，3，5，7，9，…不是它的元素；“较小的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。

一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。

我们通常用大写拉丁字母 A, B, C, …表示集合，用小写拉丁字母 a, b, c, …表示集合中的元素.

如果 $a$ 是集合 $A$ 的元素, 就说 $a$ 属于 (belong to) 集合 $A$, 记作 $a \in A$; 如果 $a$ 不是

集合 $A$ 中的元素, 就说 $a$ 不属于集合 $A$, 记作 $a \notin A$.

例如，若用 $A$ 表示前面例（1）中“$1 \sim 10$ 之间的所有偶数”组成的集合，则有 $4 \in A, 3 \notin A$，等等.

数学中一些常用的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作 N；

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 $\mathbf{N}^{*}$ 或 $\mathbf{N}_{+}$；

全体整数组成的集合称为整数集，记作 Z;

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q;

$\text {全体实数组成的集合称为实数集，记作} \mathbf {R}.$

从上面的例子看到，我们可以用自然语言描述一个集合。除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？

列举法

“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程 $x^{2} - 3x + 2 = 0$ 的所有实数根”组成的集合可以表示为 $\{1, 2\}$.

像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 “{ }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.

例 1 用列举法表示下列集合:

(1) 小于 10 的所有自然数组成的集合；

(2) 方程 $x^{2}=x$ 的所有实数根组成的集合.

解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为 $A$ ，那么

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}.$

(2) 设方程 $x^{2} = x$ 的所有实数根组成的集合为 $B$，那么

$B = \{0, 1 \}.$

由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法。例如，例1（1）的集合还可以写成

$A = \{9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 \}$

等.

思考

(1) 你能用自然语言描述集合 $\{0, 3, 6, 9\}$ 吗?

(2) 你能用列举法表示不等式 x-7<3 的解集吗?

描述法

不等式 $x - 7 < 3$ 的解是 $x < 10$ ，因为满足 $x < 10$ 的实数有无数个，所以 $x - 7 < 3$ 的解集无法用列举法表示．但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即： $x$ 是实数，且$x < 10$ ，把解集表示为

$\{x \in \mathbf {R} \mid x < 1 0 \}.$

又如，整数集 $\mathbf{Z}$ 可以分为奇数集和偶数集。对于每一个 $x \in \mathbf{Z}$，如果它能表示为 $x = 2k + 1 (k \in \mathbf{Z})$ 的形式，那么它是一个奇数；反之，如果 $x$ 是一个奇数，那么它能表示为 $x = 2k + 1 (k \in \mathbf{Z})$ 的形式。所以，$x = 2k + 1 (k \in \mathbf{Z})$ 是所有奇数的一个共同特征，于是奇数集可以表示为

你能用这样的方法表示偶数集吗？

$\{x \in \mathbf {Z} | x = 2 k + 1, k \in \mathbf {Z} \}.$

一般地，设 $A$ 是一个集合，我们把集合 $A$ 中所有具有共同特征 $P(x)$ 的元素 $x$ 所组成的集合表示为

$\{x \in A \mid P (x) \},$

这种表示集合的方法称为描述法.

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有时也用冒号或分号代替竖线，写成

例如，实数集 $\mathbf{R}$ 中，有限小数和无限循环小数都具有 $\frac{q}{p}$ ($p, q \in \mathbf{Z}, p \neq 0$) 的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为

$\{x \in A: P (x) \}$

$\{x \in A; P (x) \}.$

$\mathbf {Q} = \{x \in \mathbf {R} | x = \frac {q}{p}, p, q \in \mathbf {Z}, p \neq 0 \}.$

其中， $x = \frac{q}{p} (p,q\in \mathbf{Z},p\neq 0)$ 就是所有有理数具有的共同特征.

显然，对于任何 $y \in \{x \in A \mid P(x)\}$，都有 $y \in A$，且 $P(y)$ 成立.

例 2 试分别用描述法和列举法表示下列集合：

(1) 方程 $x^{2}-2=0$ 的所有实数根组成的集合 A;

(2) 由大于 10 且小于 20 的所有整数组成的集合 B.

解：（1）设 $x \in A$，则 $x$ 是一个实数，且 $x^2 - 2 = 0$。因此，用描述法表示为

$A = \{x \in \mathbf {R} \mid x ^ {2} - 2 = 0 \}.$

方程 $x^{2} - 2 = 0$ 有两个实数根 $\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$，因此，用列举法表示为

$A = \{\sqrt {2}, - \sqrt {2} \}.$

(2) 设 $x \in B$ ，则 x 是一个整数，即 $x \in Z$ ，且 10 < x < 20。因此，用描述法表示为

$B = \{x \in \mathbf {Z} \mid 1 0 < x < 2 0 \}.$

大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为

我们约定，如果从上下文的关系看， $x \in \mathbf{R}$，$x \in \mathbf{Z}$ 是明确的，那么 $x \in \mathbf{R}$，$x \in \mathbf{Z}$ 可以省略，只写其元素 $x$。例如，集合 $D = \{x \in \mathbf{R} \mid x < 10\}$ 也可表示为 $D = \{x \mid x < 10\}$；集合 $E = \{x \in \mathbf{Z} \mid x = 2k + 1, k \in \mathbf{Z}\}$ 也可表示为 $E = \{x \mid x = 2k + 1, k \in \mathbf{Z}\}$。

思考

举例说明，用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.

练习

1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

(1) A, B 是平面 $\alpha$ 内的定点，在平面 $\alpha$ 内与 A, B 等距离的点；

(2) 高中学生中的游泳能手.

2. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空：

0____N; -3____N; 0.5____Z; $\sqrt{2}$____Z; $\frac{1}{3}$____Q; $\pi$____R.

3. 用适当的方法表示下列集合：

(1) 由方程 $x^{2}-9=0$ 的所有实数根组成的集合；

(2) 一次函数 $y = x + 3$ 与 $y = -2x + 6$ 图象的交点组成的集合；

(3) 不等式 4x-5<3 的解集.

习题1.1

复习巩固

1. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空：

(1) 设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则

中国____A，美国____A，印度____A，英国____A；

(2) 若 $A=\{x \mid x^{2}=x\}$ ，则 -1 ____ A;

(3) 若 $B=\{x \mid x^{2}+x-6=0\}$ ，则 3 ____ B;

(4) 若 $C=\{x\in N\mid1\leqslant x\leqslant10\}$ ，则 8 ____ C，9.1 ____ C.

2. 用列举法表示下列集合：

(1) 大于 1 且小于 6 的整数；

(2) $A=\{x\mid(x-1)(x+2)=0\}$ ;

(3) $B=\{x\in\mathbf{Z}\mid-3<2x-1<3\}$ .

综合运用

3. 把下列集合用另一种方法表示出来：

(1) $\{2, 4, 6, 8, 10\}$;

（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；

(3) $\{x \in N \mid 3 < x < 7\}$ ;

(4) 中国古代四大发明.

4. 用适当的方法表示下列集合：

(1) 二次函数 $y = x^{2} - 4$ 的函数值组成的集合；

(2) 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的自变量的取值组成的集合；

(3) 不等式 $3x \geqslant 4 - 2x$ 的解集.

拓广探索

5. 集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念。关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识。

康托尔（Georg Cantor, 1845—1918）