1.1 集合的概念

这是整套高中数学的第一节，也是最容易被低估的一节。它没有一个需要推导的结论，全部内容就是 三个约定（元素的确定性、互异性、无序性）与三种写法（自然语言、列举法、描述法）。 可它是后面每一节的底座——函数的定义域、不等式的解集、三角函数的取值范围，全都是集合； 高考卷上第 1 题连续多年考它（浙江卷 2022、2023、2024 的第 1 题都是集合运算，2025 年排在第 2 题）。

所以这一节的讲法与课本略有不同：课本按”含义 → 表示”的顺序写，这里按决策顺序写—— 先说清”什么东西算一个集合”，再把三种写法摆在一起，回答唯一真正难的那个问题： 手上这个集合，我该用哪一种写法？

一、集合是什么：一句定义，三个约定

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。定义就这一句，真正要记的是它背后 三个约定，每一个都对应高考里的一种失分。

① 确定性——“在不在里面”必须有答案。 给定一个集合，任何一个对象要么属于它、要么不属于它， 不能”差不多算”。课本给的对照很干净：$1\sim 10$ 之间的所有偶数构成集合（$2,4,6,8,10$ 在里面， $1,3,5,7,9$ 不在），而”较小的数”构成不了集合——多小算小，没有标准。同理”高中学生中的游泳能手” 不是集合，“到定点距离等于定长的点”是集合。判断题的判据只有一条：能不能给出一条一句话说清的入选标准。

② 互异性——同一个元素不写两遍。 这一条平时看不出来，含参数的题目里就是全部考点： $A = \{x \mid (x-3)(x-a) = 0\}$ 在 $a = 3$ 时只有一个元素，不是”有两个但相同”。

③ 无序性——列举的顺序不影响集合。 因此 $\{0,1,2\}$ 与 $\{2,1,0\}$ 是同一个集合。 判断两个集合相等，只看元素是否一样，不看写法。

元素与集合之间只有两种关系，各配一个符号：

这两个符号连接的是元素与集合，两侧的身份不能对调，也不能拿来连接两个集合 （那是下一节的 $\subseteq$）。

二、五个常用数集：记号与边界

只有一处需要死记：$\mathbf{N}$ 含 $0$（课本原话是”全体非负整数组成的集合称为非负整数集， 或自然数集”）。要把 $0$ 排除掉必须写 $\mathbf{N}^{*}$。这一条在”求集合的元素个数”一类题里 一漏就是一个元素的差。

其余四个的边界也各有一处易混：$0.5 \notin \mathbf{Z}$（整数不含小数）、 $\sqrt{2} \notin \mathbf{Z}$ 且 $\sqrt{2} \notin \mathbf{Q}$（无理数）、 $\frac{1}{3} \in \mathbf{Q}$、$\pi \in \mathbf{R}$ 但 $\pi \notin \mathbf{Q}$。

三、三种写法，什么时候用哪一种

这一节真正要练的动作只有一个：看到一个集合，选对写法。三种写法的适用面是互补的。

1. 自然语言——说人话。 直接用一句话描述：“地球上的四大洋""中国古代四大发明”。 元素不是数、又数得清的时候用它。缺点是不能参与运算。

2. 列举法——把元素一个个写进花括号。 $\{$ 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 $\}$、 $\{1,2\}$、$\{0,1,2,\dots,9\}$。适用条件是元素有限且个数不多，或虽无限但有明显规律 （可以写 $\{1,2,3,\dots\}$）。要点有两个：花括号本身已经表示”这些元素的全体”， 所以里面不要再写”全体""所有”；元素之间用逗号分隔、重复的只写一次。

3. 描述法——写共同特征。 一般形式是

$\{x \in A \mid P(x)\},$

读作”集合 $A$ 中满足条件 $P(x)$ 的那些 $x$ 组成的集合”。竖线左边是代表元 （元素长什么样、从哪个范围里取），右边是共同特征（要满足什么条件）。 课本也允许用冒号或分号代替竖线，写成 $\{x \in A : P(x)\}$ 或 $\{x \in A ; P(x)\}$。

选哪一种？ 一条判据就够：元素是否列得完。 列得完（有限且少）用列举法， 列不完（无限、或有限但极多）用描述法；元素不是数、又不便写条件的用自然语言。 不等式 $x - 7 < 3$ 的解集是 $x < 10$，实数解有无穷个，只能写成 $\{x \in \mathbf{R} \mid x < 10\}$； 而方程 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 的实数根只有两个，写 $\{1,2\}$ 最短。

同一个集合常常两种写法都行，这时”用适当的方法表示”的意思就是挑短的、挑清楚的那一种： “大于 $10$ 且小于 $20$ 的所有整数”写描述法是 $\{x \in \mathbf{Z} \mid 10 < x < 20\}$， 写列举法是 $\{11,12,\dots,19\}$，两种都对；而”不等式 $4x - 5 < 3$ 的解集”只能用描述法， 因为解有无穷多个。

四、描述法的三处细节

代表元可以省略范围。 课本约定：如果从上下文看 $x \in \mathbf{R}$ 或 $x \in \mathbf{Z}$ 是明确的，那就可以省掉，只写元素 $x$。于是 $\{x \in \mathbf{R} \mid x < 10\}$ 可以简写成 $\{x \mid x < 10\}$。省的是范围，不是条件——竖线右边一个字都不能省。

代表元决定集合装的是什么。 这是描述法最容易读错的地方，也是后面函数一章的高频陷阱：

三个集合的条件一模一样，装的东西完全不同：第一个是全体实数，第二个是 $[-4, +\infty)$， 第三个是一条抛物线上的点。先看竖线左边，再读右边。

先解，再写。 描述法给出的条件如果是方程或不等式，第一步永远是把它解出来。 $\{x \mid x^2 = x\}$ 不是”方程 $x^2 = x$“这个式子，它是 $\{0,1\}$——所以判断 $-1$ 是否属于它， 不是看 $-1$ 长得像不像，而是代进去看等式成不成立。

界不是整数时，代表元的范围才是主角。 前面说范围可以省，是因为它常常从上下文就明确； 但有些题的答案恰恰全押在范围那一半上。$\{x \in \mathbf{N} \mid x^{2} \geqslant 5\}$ 解出来是 $x \geqslant \sqrt{5}$，而 $\sqrt{5} = 2.236\ldots$ 根本不是自然数——这时候”端点取不取得到” 这个问题是不存在的，真正该问的是”哪些自然数落在 $\sqrt{5}$ 的右边”。用 $2^{2} = 4 < 5$、 $3^{2} = 9 \geqslant 5$ 把它夹住，集合就是 $\{3,4,5,\dots\}$。 竖线右边解出一条界，竖线左边的范围负责把它翻译成具体元素——两半缺一不可。

五、易错清单

按失分频率排：

1. $\mathbf{N}$ 漏掉 $0$。 自然数集含 $0$；要排除 $0$ 写 $\mathbf{N}^{*}$。
2. 描述法没解就答。 见到 $\{x \mid x^2 + x - 6 = 0\}$ 先解出 $\{-3, 2\}$，再判断谁属于它。
3. 代表元看错。 $\{x \mid \dots\}$ 与 $\{y \mid \dots\}$ 与 $\{(x,y) \mid \dots\}$ 是三个不同的集合。
4. 列举法里把”所有""全体”再写一遍。 花括号已经承担了这个意思。
5. 元素写重。 互异性要求同一个元素只出现一次，$\{1,1,2\}$ 不是合法写法。
6. 把 $\in$ 用在两个集合之间。 $\in$ 连接元素与集合；集合与集合之间的关系是下一节的事。
7. 端点与不等号抄错。 $\{x \in \mathbf{Z} \mid -3 < 2x - 1 < 3\}$ 解出来是 $-1 < x < 2$， 整数只有 $0$ 和 $1$——先解不等式，再挑整数，两步都别跳。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先做 2022 年第 1 题：两个列举法集合求并集，练的就是”合成一张名单、公共元素只写一次”， 是本节写法的最直接应用；
• 再做 2023 年第 1 题与 2024 年第 1 题：都要先把描述法给出的集合解成能数的形式， 再去做运算。这两道正是第四节”先解，再写”那一条；
• 顺带做 2014 年第 1 题：同样是”先解，再写”，但解出来的界 $\sqrt{5}$ 卡在两个自然数中间， 于是只能回到代表元范围 $x \in \mathbf{N}$ 才能定下这个集合究竟装了谁——第四节最后一条的原题；
• 然后是 2025 年第 2 题：补集数个数，考的是”把描述法的全集老老实实列举清楚”—— 列举时按顺序写、写完数一遍个数，正是本节列举法的要求；
• 最后看 2022 年第 4 题：它表面上是三角函数的充分必要条件题，但判断的方式是 “满足 $\sin x = 1$ 的 $x$ 全体”与”满足 $\cos x = 0$ 的 $x$ 全体”这两个解集谁包含谁。 这道题是本节真正的上限：集合不是一类题，它是把”条件”写成”对象”的那套语言。

本节课本习题共 8 道：第 12 页「练习」3 道，第 12–13 页「习题 1.1」5 道（复习巩固 2 道、综合运用 2 道、拓广探索 1 道）。其中拓广探索第 5 题不收——它要求查阅资料写一份关于康托尔与集合论的 短报告，是开放式作业，没有唯一解答，写出来的只会是一份读书笔记而不是详解。其余 7 道逐题全做。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 12 页）第 1 题

1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：

(1) A, B 是平面 $\alpha$ 内的定点，在平面 $\alpha$ 内与 A, B 等距离的点；

(2) 高中学生中的游泳能手.

判据只有一条——确定性：给定一个对象，“它在不在里面”必须有确定的答案。

(1) 能组成集合。 入选标准是”到 $A$ 的距离等于到 $B$ 的距离”，这是一个可以逐点验证的等式： 平面 $\alpha$ 内任取一点 $P$，量出 $PA$ 与 $PB$ 两个长度，相等就在里面、不相等就不在里面， 没有第三种可能。所以它满足确定性，是一个集合。

这个集合还能说得更具体：当 $A$、$B$ 是两个不同的定点时，它就是线段 $AB$ 在平面 $\alpha$ 内的垂直平分线；退化情形 $A$ 与 $B$ 重合时，平面内每一点都满足条件，集合就是整个平面 $\alpha$。 两种情形下”能组成集合”这个结论都不变——确定性只要求标准清楚，不要求集合非空或有限。

(2) 不能组成集合。 “游泳能手”没有确定的标准：游多快、多远、拿过什么名次才算能手， 题目没有说，不同的人会给出不同的名单。于是对某一位具体的高中学生，“他是不是能手”答不出确定的 是或否，确定性不成立。

对照着看，把它改成”高中学生中 $100$ 米自由泳成绩快于 $1$ 分钟的人”就成了集合——差别不在 “能不能数清楚”，而在入选标准是不是一句话说得死。

练习（第 12 页）第 2 题

2. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空：

0____N; -3____N; 0.5____Z; $\sqrt{2}$____Z; $\frac{1}{3}$____Q; $\pi$____R.

逐个按数集的定义判断。

逐条说明：

• $0 \in \mathbf{N}$——课本把 $\mathbf{N}$ 定义为全体非负整数组成的集合，$0$ 是非负整数。 这是本节唯一需要死记的边界，要把 $0$ 排除掉得写 $\mathbf{N}^{*}$。
• $-3 \notin \mathbf{N}$——$-3$ 是负整数，不是非负整数。
• $0.5 \notin \mathbf{Z}$——$\mathbf{Z}$ 是整数集，$0.5$ 不是整数。
• $\sqrt{2} \notin \mathbf{Z}$——$1 < \sqrt{2} < 2$，它落在两个相邻整数之间，不可能是整数。
• $\frac{1}{3} \in \mathbf{Q}$——有理数集里的元素就是能写成 $\frac{q}{p}$（$p, q \in \mathbf{Z}$， $p \neq 0$）的数，$\frac{1}{3}$ 已经是这个形状。
• $\pi \in \mathbf{R}$——$\pi$ 是实数（顺带一提它不是有理数，所以 $\pi \notin \mathbf{Q}$， 但本题问的是 $\mathbf{R}$）。

这道题的关键动作：先想清楚这个记号代表的是哪一批数，再看给的数在不在那一批里。

练习（第 12 页）第 3 题

3. 用适当的方法表示下列集合：

(1) 由方程 $x^{2}-9=0$ 的所有实数根组成的集合；

(2) 一次函数 $y = x + 3$ 与 $y = -2x + 6$ 图象的交点组成的集合；

(3) 不等式 4x-5<3 的解集.

“适当的方法”的判据是元素列得完就列举、列不完就描述。

(1) 先解方程：$x^2 - 9 = 0$ 即 $(x-3)(x+3) = 0$，所以 $x = 3$ 或 $x = -3$。 两个元素，列得完，用列举法：

$\{-3, 3\}.$

(2) 交点要同时满足两个函数的解析式，所以解方程组

$\begin{cases} y = x + 3, \\ y = -2x + 6. \end{cases}$

把第一式的 $y$ 代入第二式，得 $x + 3 = -2x + 6$，即 $3x = 3$，$x = 1$； 回代第一式得 $y = 1 + 3 = 4$。

核一遍：$x = 1$ 时第二式给出 $y = -2 \times 1 + 6 = 4$，与第一式一致，交点确实是 $(1,4)$。 两条直线斜率分别是 $1$ 与 $-2$，不相等，所以交点有且只有一个。

集合的元素是点，不是数，写成有序数对：

$\{(1, 4)\}.$

注意花括号不能丢——问的是”交点组成的集合”，答 $(1,4)$ 是答了那个点，没答那个集合。

(3) 解不等式：$4x - 5 < 3$ 即 $4x < 8$，即 $x < 2$。满足 $x < 2$ 的实数有无穷多个， 列举不完，用描述法：

$\{x \mid x < 2\}.$

按课本的约定，上下文里 $x \in \mathbf{R}$ 是明确的，所以 $\{x \in \mathbf{R} \mid x < 2\}$ 可以简写成上式；两种写法都对。

习题 1.1 第 1 题

1. 用符号 “∈” 或 “∉” 填空：

(1) 设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则

中国____A，美国____A，印度____A，英国____A；

(2) 若 $A=\{x \mid x^{2}=x\}$ ，则 -1 ____ A;

(3) 若 $B=\{x \mid x^{2}+x-6=0\}$ ，则 3 ____ B;

(4) 若 $C=\{x\in N\mid1\leqslant x\leqslant10\}$ ，则 8 ____ C，9.1 ____ C.

后三小问的共同动作：先把描述法解成列举法，再判断。

(1) $A$ 是所有亚洲国家组成的集合。中国、印度在亚洲，美国在北美洲、英国在欧洲：

$\text{中国} \in A, \qquad \text{美国} \notin A, \qquad \text{印度} \in A, \qquad \text{英国} \notin A.$

(2) 先解 $x^2 = x$：移项得 $x^2 - x = 0$，即 $x(x-1) = 0$，所以 $x = 0$ 或 $x = 1$， 于是 $A = \{0, 1\}$。$-1$ 不是这两个数之一，所以

$-1 \notin A.$

也可以不解方程直接验证：把 $x = -1$ 代进条件，左边 $(-1)^2 = 1$，右边 $-1$，$1 \neq -1$， 条件不成立，故 $-1 \notin A$。两条路结论一致。

(3) 先解 $x^2 + x - 6 = 0$：$(x+3)(x-2) = 0$，所以 $x = -3$ 或 $x = 2$，于是 $B = \{-3, 2\}$。 $3$ 不在其中，所以

$3 \notin B.$

代入验证也一样：$3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \neq 0$。

(4) $C = \{x \in \mathbf{N} \mid 1 \leqslant x \leqslant 10\}$，代表元限定在自然数里， 所以 $C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$。$8$ 是其中之一；$9.1$ 虽然满足 $1 \leqslant 9.1 \leqslant 10$，但它不是自然数，代表元那一关就没过：

$8 \in C, \qquad 9.1 \notin C.$

$9.1$ 这一空正是描述法的考点：竖线左边的范围与右边的条件要同时满足，漏看左边就会填错。

习题 1.1 第 2 题

2. 用列举法表示下列集合：

(1) 大于 1 且小于 6 的整数；

(2) $A=\{x\mid(x-1)(x+2)=0\}$ ;

(3) $B=\{x\in\mathbf{Z}\mid-3<2x-1<3\}$ .

(1) 大于 $1$ 且小于 $6$ 的整数，两端都取不到，所以是 $2,3,4,5$：

$\{2, 3, 4, 5\}.$

(2) 解方程 $(x-1)(x+2) = 0$：两个因式之积为零，故其中至少一个为零，得 $x = 1$ 或 $x = -2$。

$A = \{-2, 1\}.$

(3) 先解不等式 $-3 < 2x - 1 < 3$。三边同时加 $1$：$-2 < 2x < 4$；三边同时除以 $2$ （$2 > 0$，不等号方向不变）：$-1 < x < 2$。

再用代表元的限制 $x \in \mathbf{Z}$：$-1$ 与 $2$ 都取不到，中间的整数只有 $0$ 和 $1$。

$B = \{0, 1\}.$

核一遍两个端点附近的整数：$x = -1$ 时 $2x - 1 = -3$，而条件要求严格大于 $-3$，不满足； $x = 2$ 时 $2x - 1 = 3$，条件要求严格小于 $3$，不满足。所以 $-1$、$2$ 都不在 $B$ 里，与上面一致。

习题 1.1 第 3 题

3. 把下列集合用另一种方法表示出来：

(1) $\{2, 4, 6, 8, 10\}$;

（2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数；

(3) $\{x \in N \mid 3 < x < 7\}$ ;

(4) 中国古代四大发明.

“另一种方法”是指在自然语言、列举法、描述法三者之间换一种：给的是列举法就改写成描述法或 自然语言，给的是描述法或自然语言就改写成列举法。

(1) 给的是列举法，改写成描述法。这五个数是 $10$ 以内的正偶数，即形如 $2k$ 且 $1 \leqslant k \leqslant 5$：

$\{x \mid x = 2k,\ k \in \mathbf{N}^{*},\ k \leqslant 5\}.$

核一遍：$k$ 取 $1,2,3,4,5$ 依次给出 $2,4,6,8,10$，不多不少五个，与原集合相同。 用自然语言说也可以：不大于 $10$ 的所有正偶数组成的集合。

(2) 给的是自然语言，改写成列举法。按位数分类，逐类写全（这一步不分类就一定会漏）：

• 一位数：从 $1,2,3$ 中抽 $1$ 个，得 $1,2,3$，共 $3$ 个；
• 两位数：从 $1,2,3$ 中抽 $2$ 个再排序，得 $12,13,21,23,31,32$，共 $3 \times 2 = 6$ 个；
• 三位数：三个数字全用上再排序，得 $123,132,213,231,312,321$，共 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 个。

$\{1,\ 2,\ 3,\ 12,\ 13,\ 21,\ 23,\ 31,\ 32,\ 123,\ 132,\ 213,\ 231,\ 312,\ 321\}.$

个数核一遍：$3 + 6 + 6 = 15$，与上面列出的 $15$ 个相符。题目说”没有重复”，指的是同一个数字 在一个数里不重复使用，所以 $11$、$122$ 这类不在其中。

(3) 给的是描述法，改写成列举法。代表元限定 $x \in \mathbf{N}$，条件是 $3 < x < 7$， 两端取不到，所以自然数只有 $4,5,6$：

$\{4, 5, 6\}.$

(4) 给的是自然语言，改写成列举法：

$\{\text{造纸术},\ \text{印刷术},\ \text{指南针},\ \text{火药}\}.$

元素不是数，但列得完，列举法照用——花括号里写什么由集合装的是什么决定。

习题 1.1 第 4 题

4. 用适当的方法表示下列集合：

(1) 二次函数 $y = x^{2} - 4$ 的函数值组成的集合；

(2) 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 的自变量的取值组成的集合；

(3) 不等式 $3x \geqslant 4 - 2x$ 的解集.

三小问的元素都有无穷多个，都用描述法。真正的考点是代表元该写谁。

(1) 问的是函数值，所以代表元是 $y$，不是 $x$。二次函数 $y = x^2 - 4$ 的定义域是全体实数， 要定的是 $y$ 的取值范围，得把”取不到更小的”与”不小于 $-4$ 的都取得到”两头分别说清。

取不到更小的：对任何实数 $x$ 都有 $x^2 \geqslant 0$，故 $y = x^2 - 4 \geqslant -4$。

不小于 $-4$ 的都取得到：任给一个 $y_0 \geqslant -4$，此时 $y_0 + 4 \geqslant 0$， 可取 $x = \sqrt{y_0 + 4}$（根号内非负，这个 $x$ 取得出来），代入即得 $x^2 - 4 = (y_0 + 4) - 4 = y_0$。

两头合起来，函数值恰好是全体不小于 $-4$ 的实数：

$\{y \mid y \geqslant -4\}.$

(2) 问的是自变量的取值，所以代表元是 $x$。$y = \frac{2}{x}$ 里分母不能为零， 除此之外没有别的限制：

$\{x \mid x \neq 0\}.$

(3) 解不等式：$3x \geqslant 4 - 2x$，两边同加 $2x$ 得 $5x \geqslant 4$， 两边同除以 $5$（$5 > 0$，不等号方向不变）得 $x \geqslant \frac{4}{5}$：

$\left\{x \;\middle|\; x \geqslant \frac{4}{5}\right\}.$

端点核一遍：$x = \frac{4}{5}$ 时左边 $3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$， 右边 $4 - 2 \times \frac{4}{5} = 4 - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}$，两边相等， 而条件是”大于或等于”，所以端点取得到，写成闭的。

这三小问放在一起就是本节最该带走的动作：读题时先认出问的是哪一个字母，再去写条件。