浙江 2025 · 数学 q02

冷启动：三个词就够了

假设你完全没学过集合。这道题要用的全部知识就是下面三个词，读完就能自己把它做出来。

① 集合与元素。 把一些确定的、互不相同的对象放在一起、当成一个整体看，这个整体就是一个集合；里面的每个对象叫元素。写一个集合有两种办法：

• 列举法：把元素一个个写出来，如 $A=\{1,3,5\}$——里面有谁、有几个，一眼就看完了。
• 描述法：不给名单，只给一句「入会条件」，如 $\{x\mid x\text{ 是小于 }9\text{ 的正整数}\}$，读作「所有满足竖线右边那句话的 $x$」。

两种写法说的可以是同一个集合，但描述法看不出个数——本题唯一的门槛就在这里。

② 全集。 讨论问题前要先把范围钉住，而这个「范围」本身也是一个集合，叫全集，习惯记作 $U$。同一句话在不同范围里答案会不一样，所以 $U$ 必须先说清楚。

③ 补集。 范围钉在 $U$ 之后，「$U$ 里不属于 $A$ 的那些元素」凑成的集合就叫 $A$ 的补集，记作 $\complement_U A$。一句话记住它：从全集里把 $A$ 挖掉，剩下的部分。

题目问的是 $\complement_U A$ 里有几个元素，翻成人话就是：先看清 $U$ 里有谁，挖掉 $A$，数剩下的。

解法一：列举全集再数补集

怎么想到的。 手上两个集合的写法不一样：$A$ 是列举法（有谁写得明明白白），$U$ 是描述法（只给了条件）。要拿它们互相「挖」，得先让两边可比——所以第一个动作一定是把描述法翻成列举法。这个动作有个名字：描述法化列举法。翻完之后 $U$ 就是一张点名单，挖掉 $A$、数剩下的，全都只是数数。

① 把 $U$ 列举出来。 「小于 9 的正整数」这句话要逐字读：

• 正整数从 $1$ 起（$0$ 不是正整数，负数更不是）；
• 小于 9 不包括 $9$ 自己，所以最大只到 $8$。

于是从 $1$ 一个一个取到 $8$：

$$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\qquad |U|=8$$

（记号 $|U|$ 就是「$U$ 的元素个数」。）

② 确认 $A$ 的元素都在 $U$ 里。 $A=\{1,3,5\}$，三个数都在名单上，即 $A\subseteq U$。这一步看着多余，它其实是第 ④ 步「相减」能用的前提。

③ 挖掉 $A$，把剩下的写出来。 在名单上划掉 $1,3,5$，剩下的就是补集：

$$\complement_U A=\{2,4,6,7,8\}$$

数一数 $2,4,6,7,8$——一共 $5$ 个。

④ 换一种记账法核对一遍。 剩几个其实也可以不写名单直接算：$A$ 的 $3$ 个元素都在 $U$ 的 $8$ 个里，挖掉之后当然剩 $8-3$ 个。这一步用的是补集的元素个数那条公式：

$$|\complement_U A|=|U|-|A|=8-3=5$$

与第 ③ 步数出来的一致。（题目只问个数、不问补集是谁时，这条更省事：数清 $|U|$ 与 $|A|$ 就够了。前提正是第 ② 步验过的 $A\subseteq U$。）

⑤ 对照选项。 A. $0$、B. $3$、C. $5$、D. $8$——补集有 $5$ 个元素，故选 C。另外三个选项恰好是三种典型的数错：$0$ 是「以为把 $A$ 挖掉就什么都不剩」（那要 $A=U$ 才对），$3$ 是 $|A|$，$8$ 是 $|U|$。

为什么这道题只有一条路

高考里很多题有几条实质不同的路——换一套工具、换一个推进方向，都能到同一个答案。这道题没有。它的全部难度压在第 ① 步：把「小于 9 的正整数」读成一张不多不少八个数的名单。名单一旦列出来，第 ③ 步的「写出来数」和第 ④ 步的「相减」用的是同一份名单、同一次数数，只是记账方式不同，所以它们是一条路上的两种写法，不是两条路。

真正值得在这道题上练的，是把描述法读到一个数都不差——这也是它作为全卷第 2 题存在的意义。

🕳️ 避坑

• 全集的两个边界都要逐字读：「小于 $9$」不含 $9$、「正整数」不含 $0$。把 $9$ 算进去、或把 $0$ 算进去，都会得到 $9-3=6$；两个都算进去得 $10-3=7$。而 $6$ 和 $7$ 在选项里根本没有——这时要回去重读题面，别往最近的选项上凑。
• 别把三个数搞混：$|U|=8$、$|A|=3$、$|\complement_U A|=5$，题目问的是最后一个。B（3） 和 D（8） 就是这么埋的：一个给你 $A$ 的个数，一个给你全集的个数、赌你忘了挖。
• 相减的前提是 $A\subseteq U$。若 $A$ 里有元素不在 $U$ 里，得先取 $A\cap U$ 再减——否则会多减：比如把 $A$ 换成 $\{1,3,9\}$，$9$ 压根不在 $U$ 里，补集里剩的是 $8-2=6$ 个，不是 $8-3=5$ 个。