一个量与它的倒数同时出现就换元

解题套路

1. 认出那对倒数。它们常常伪装得不像：

   长相	其实是 $u$ 与 $\dfrac1u$
   $\log_a b$ 与 $\log_b a$	$u=\log_b a$
   $\tan\theta$ 与 $\cot\theta$	$u=\tan\theta$
   $\dfrac{a}{b}$ 与 $\dfrac{b}{a}$	$u=\dfrac ab$
   $2^{x}$ 与 $2^{-x}$	$u=2^{x}$

2. 设 $t=u$，把式子写成 $t$ 与 $\dfrac1t$ 的组合。绝大多数题目里它会收成

   $$t+\frac1t=k\quad\text{或}\quad t-\frac1t=k .$$

3. 去分母变成一元二次。$t+\dfrac1t=k$ 乘 $t$ 得 $t^{2}-kt+1=0$； 注意常数项恰是 $1$，所以两根之积为 $1$，它们互为倒数。

4. 用范围取舍。上一步的对称性说明方程本身分不出 $t$ 和 $\dfrac1t$， 取哪个只能由题设的大小关系决定。

为什么值得换

不换元时式子里有两个看似独立的量，条件却只有一个，容易觉得「未知数比方程多」。 换元之后自由度暴露出来：它本来就只有一个。

顺带还白送两条常用事实：

• $t>0$ 时 $t+\dfrac1t\geqslant2$，等号在 $t=1$；所以 $t+\dfrac1t=k$ 有解当且仅当 $k\geqslant2$。
• 两根互为倒数，故只要求出一个，另一个不用再解。

边界

• $t-\dfrac1t=k$ 的两根之积是 $-1$，是互为负倒数，不要套上面那条。
• 若原量可正可负（如 $\tan\theta$），$t+\dfrac1t$ 的取值是 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$， 中间那段是空的——这一点经常成为「无解」类问题的关键。