浙江 2015 · 数学 q12

冷启动：题面给的不是「一个数」，是一句翻译

条件只有一行：

$$a=\log_{4}3 .$$

这不是一个待算的数，而是一句可以立刻翻面的话——写成指数式就是

$$4^{a}=3 .$$

这一步是全题唯一的门槛。$a$ 本身是个无理数（约 $0.79$），把它算成小数再代回去， 只会得到一串近似值；而题目要的是精确值，所以从头到尾都不该去碰 $a$ 的数值。

看清楚要求的东西：$2^{a}+2^{-a}$。两项互为倒数——$2^{a}\cdot 2^{-a}=2^{0}=1$。 所以只要拿到 $2^{a}$，另一项白送；甚至可以完全不去拿 $2^{a}$（见解法二）。

解法一：把底统一到 $2$，先把 $2^{a}$ 算出来

第一步：$4$ 和 $2$ 本来就是一家

条件里的底是 $4$，要求的底是 $2$，而 $4=2^{2}$。把 $4^{a}=3$ 里的 $4$ 换掉：

$$\left(2^{a}\right)^{2}=\left(2^{2}\right)^{a}=4^{a}=3 .$$

指数运算里最常用的就是这一条：$\left(a^{r}\right)^{s}=a^{rs}$，$4^{a}$ 与 $\left(2^{a}\right)^{2}$ 是同一个数的两种括法。

第二步：开方，但要说清取哪个根

由 $\left(2^{a}\right)^{2}=3$ 得 $\bigl|2^{a}\bigr|=\sqrt{3}$。这里必须补一句 $2^{a}>0$（任何实数指数的 $2$ 的幂都是正的），才能脱掉绝对值：

$$2^{a}=\sqrt{3} .$$

漏掉这句话，$-\sqrt{3}$ 就成了一个假根。这道题里它的危害看起来不大， 但同样的疏忽换到「求 $2^{a}-2^{-a}$」那种问法上就会直接多出一个错误答案。

顺带一提，条件也可以用换底公式先算成以 $2$ 为底：

$$a=\log_{4}3=\frac{\log_{2}3}{\log_{2}4}=\frac{1}{2}\log_{2}3 \ \Longrightarrow\ 2^{a}=2^{\frac{1}{2}\log_{2}3}=\left(2^{\log_{2}3}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3} .$$

两种写法是同一件事：要么把指数式里的底降到 $2$，要么把对数式里的底降到 $2$。

第三步：相加

$$2^{a}+2^{-a}=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{3+1}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3} .$$

最后一步是分母有理化。答案栏里写 $\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ 通常也算对，但填空题按惯例要化到分母无根号。

解法二：不求 $2^{a}$，对所求的式子整体平方

这条路的动机是：式子里同时出现了 $2^{a}$ 与它的倒数。这种形状一平方就会把交叉项变成常数。

第一步：平方，中间项自动变成 $2$

记 $t=2^{a}+2^{-a}$，则

$$t^{2}=\left(2^{a}\right)^{2}+2\cdot 2^{a}\cdot 2^{-a}+\left(2^{-a}\right)^{2} =4^{a}+2+4^{-a} .$$

中间那一项之所以干脆是 $2$，正因为两项互为倒数——这就是这条路的全部好处。

第二步：两头都由 $4^{a}=3$ 直接给出

$$4^{a}=3 ,\qquad 4^{-a}=\frac{1}{4^{a}}=\frac{1}{3} .$$

于是

$$t^{2}=3+2+\frac{1}{3}=\frac{16}{3} .$$

注意 $2^{a}$ 自始至终没有出现过：条件给的是以 $4$ 为底的，要求的平方之后恰好也变成以 $4$ 为底的。

第三步：开方，仍要说清取哪个根

$t$ 是两个正数之和，故 $t>0$；由 $t^{2}=\dfrac{16}{3}$ 得

$$t=\sqrt{\frac{16}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3} .$$

$-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ 被 $t>0$ 排除。这一句不是走形式：平方是个不可逆的动作， 它把一个数变成两个候选，必须靠范围把多出来的那个赶走。

两条路怎么选

分水岭是条件的底与所求的底差多远。

这道题里两个底只差一次平方，所以解法一几乎没有代价：一步把 $4$ 拆成 $2^{2}$，$2^{a}$ 当场就有了。 换成 $a=\log_{5}3$ 这种底与 $2$ 毫无关系的情形，$2^{a}$ 就写不成一个漂亮的根式， 解法一会卡在第一步——这时才看得出解法二的价值：它根本不需要 $2^{a}$ 长什么样， 只要所求的式子平方以后能整个落回条件给的那个底。

反过来，解法二也有它的软肋：平方会丢符号。这道题问的是和，$t>0$ 一句话就补回来了； 若问的是 $2^{a}-2^{-a}$，平方得到的是 $4^{a}-2+4^{-a}=\dfrac{4}{3}$， 还得再判一次 $a>0$ 才能定下取正根。平方是拿信息换整齐，换掉的那部分要自己记着补。