对数换底公式

教材原文

设 $\log_a b = x$，则 $a^x = b$，于是

$\log_ {c} a ^ {x} = \log_ {c} b.$

根据性质（3）得 $x \log_{c} a = \log_{c} b$ ，即

$\log_ {a} b = \frac {\log_ {c} b}{\log_ {c} a} (a > 0, \text {且} a \neq 1; b > 0; c > 0, \text {且} c \neq 1).$

我们把上式叫做对数换底公式.

要点

• 新底 $c$ 随便挑，只要 $c>0,\ c\neq1$。挑什么好？让分子分母都变成好算的数。题里已经出现 $2$ 的幂时就换成 $2$，要用计算器时就换成 $10$ 或 $\mathrm e$。

• 两个最常用的推论（直接由换底得到）：

  $$\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_a b,\qquad \log_a b=\frac{1}{\log_b a}$$

  第一条是本题的关键：$\log_8 3=\log_{2^3}3=\dfrac13\log_2 3$。底数取了 $n$ 次方，对数就缩成 $\dfrac1n$。

• 记的方向要清楚：$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$——原来的真数在分子、原来的底数在分母。倒过来写就变成了它的倒数。

常见失手

• 分子分母写反：得到 $\dfrac{1}{\log_a b}$，恰好是答案的倒数，而倒数往往就摆在选项里。
• $\log_{a^n}b$ 的系数记成 $n$：正确的是 $\dfrac1n$。底数变大，对数变小——用 $\log_4 16=2$ 而 $\log_2 16=4$ 试一下就记住了。