统一底数

解题套路

1. 挑底数：题里出现的底数（$2,4,8,16,\dfrac12$ 这一族，或 $3,9,27$ 这一族）多半是同一个数的幂。取最小的那个当公共底，通常就是 $2$ 或 $3$。
2. 幂全部改写：$4^{x}=2^{2x}$、$8^{x}=2^{3x}$、$\left(\dfrac18\right)^{x}=2^{-3x}$。
3. 对数全部换底：$\log_8 3=\dfrac{\log_2 3}{\log_2 8}=\dfrac13\log_2 3$。要点是 $\log_{a^{n}}b=\dfrac1n\log_a b$。
4. 把条件翻成同一种语言：题目给 $2^a=5$（指数式）与 $\log_8 3=b$（对数式）时，把后者也翻成指数式 $2^{3b}=3$——两个条件都成了「$2$ 的某次幂等于某个数」，就能直接相乘相除了。
5. 算：底数统一之后，指数上的加减乘除就是幂的乘除乘方，一路化到底。

为什么这一步最要紧

指数幂的运算性质与对数的运算性质都只在同底之间成立。底数不统一时，$2^a$ 与 $8^b$ 之间没有任何现成的公式可用；统一成 $2$ 之后，$8^b=2^{3b}$，两者立刻可以相乘相除。换句话说，这一步不是技巧，是让公式变得可用的前提。

判断该往哪个方向翻

• 要求的是一个幂（如 $4^{a-3b}$）→ 把条件都翻成指数式，直接代。
• 要求的是一个对数或一个指数值（如 $a+b$、$\log_2 x$）→ 把条件都翻成对数式，用对数运算性质合并。

两个方向都通，选与所求同一种语言的那个，能少绕一圈。

常见失手

• 改底时指数没跟着变：$4^{a}$ 写成 $2^{a}$（少乘 $2$）。正确是 $4^{a}=2^{2a}$。
• $\log_{a^{n}}b$ 的系数写成 $n$：应是 $\dfrac1n$。
• 只统一了一半：幂换了底、对数没换，或者反过来，公式照样用不上。