对数的运算性质

教材原文

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

$M = a ^ {m}, N = a ^ {n},$

$a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n},$

$M N = a ^ {m + n}.$

于是，我们得到如下的对数运算性质.

如果 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0$ ，那么

(1) $\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N;$

(2) $\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N;$

$$\log_ {a} M ^ {n} = n \log_ {a} M (n \in \mathbf {R}). \tag {3}$$

要点

• 三条的作用是降级：乘 → 加、除 → 减、乘方 → 乘系数。凡是看到「对数的和差」，都可以合并成一个对数；反过来也一样。
• 底数必须相同才能合并。$\log_2 5+\log_3 4$ 合不了，得先换底。
• 真数必须为正是前提，写在教材那句「$M>0$，$N>0$」里。变形时若把 $\log_a x^2=2\log_a x$ 反用，定义域会从 $x\neq 0$ 缩成 $x>0$——这是最常被忽略的一处。
• 它们全是从指数幂的运算性质翻译过来的（教材正是这样推的），所以指数那边记熟了，这边不必另背。

常见用法