和的对数拆成对数的和

对数的运算性质只对乘、除、乘方这一侧成立：

加减那一侧一条也没有。 $\log_a(M+N)$ 就是 $\log_a(M+N)$，拆不开：

举一次反例就够：取 $a=10$、$M=N=1$，左边 $\lg 2\approx 0.301$，右边 $\lg1+\lg1=0$。

为什么这个错特别难自查

它偶尔是对的。 $\log_a(M+N)=\log_a M+\log_a N$ 等价于 $M+N=MN$， 而这个方程有一整条曲线的解——例如 $M=N=2$ 时两边都等于 $\log_a 4$。 于是「随手代一组数验一验」很可能正好撞上成立的那一组，从而把错的当成对的。

结论：验恒等式只能靠反例，不能靠正例。 代一组数发现成立，什么也证明不了； 要否掉一个式子，才需要（也只需要）一组数。

同一族的错法

• 积的对数拆成对数的积：$\log_a(MN)$ 写成 $\log_a M\cdot\log_a N$——性质给的是和不是积。
• 商的对数拆成对数的商：$\log_a\dfrac{M}{N}$ 写成 $\dfrac{\log_a M}{\log_a N}$—— 后者其实是换底公式里的 $\log_N M$，是另一件事。
• 指数那一侧的镜像：$a^{s+t}$ 写成 $a^{s}+a^{t}$（正确是 $a^{s}a^{t}$）。

判断办法只有一条：看括号里最外层是什么运算。是乘、除、乘方，才有性质可用； 是加减，就只能原样留着。