浙江 2013 · 数学 q03

冷启动：四个选项只差两个运算符号

$$\text{已知 }x,y\text{ 为正实数，问下面哪一个恒成立：}$$ $$\text{A. }2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}\qquad \text{B. }2^{\lg(x+y)}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$$ $$\text{C. }2^{\lg x\cdot\lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}\qquad \text{D. }2^{\lg(xy)}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$$

盯符号，别盯字母。 四个选项的骨架完全一样——左边是 $2$ 的某个指数， 右边是两块 $2^{\lg\square}$ 拼起来。差别只有两处：

要用的性质也只有两条，而且它们说的是同一件事：

$$\lg(xy)=\lg x+\lg y\qquad(x>0,\ y>0) ,$$ $$a^{s+t}=a^{s}\cdot a^{t}\qquad(a>0) .$$

第一条把乘降成加，第二条把加升回乘——

$$\text{乘}\ \xrightarrow{\ \lg\ }\ \text{加}\ \xrightarrow{\ 2^{\square}\ }\ \text{乘} .$$

D 就是把这两步接起来。而加减那一侧一条性质也没有： $\lg(x+y)$ 拆不开，$2^{s+t}$ 也绝不是 $2^{s}+2^{t}$。 另外三个选项各在某一处把「加」与「乘」调了个个儿。

顺带一句：题面那句「$x$、$y$ 为正实数」不是背景交代， 它是 $\lg x$、$\lg y$ 有意义、以及第一条性质能用的前提。

解法一：从 D 的左边一路化到右边，两条运算性质接力

第一步：把 $\lg(xy)$ 拆开

$x>0$、$y>0$，故可以用对数的运算性质：

$$\lg(xy)=\lg x+\lg y .$$

于是

$$2^{\lg(xy)}=2^{\lg x+\lg y} .$$

（这一步只动了指数，没动底数——指数里的 $\lg(xy)$ 换成了一个与它相等的数。）

第二步：把指数上的加法落到幂上

底数 $2>0$，用指数幂的运算性质：

$$2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y} .$$

两步接起来：

$$2^{\lg(xy)}=2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y} .$$

这条链子对任何一对正实数 $x$、$y$ 都成立——两条性质各自的前提（$x>0$、$y>0$、$a>0$） 在题面里全给足了。所以 D 是恒等式。

$$\boxed{2^{\lg(xy)}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}\ \text{恒成立}\ \Rightarrow\ \text{选 D}}$$

（严格说，到这里只证明了「D 对」，还没证明「另外三个错」。 单选题里「恰有一个正确」是题目的约定，可以直接收口； 但把另外三个也否掉更踏实——那正是解法二做的事，两条路合起来才是一个完整的论证。）

图是把「恒等式」这三个字翻成了看得见的东西：取 $y=2$ 切一刀， 让每个选项的左边、右边各画成一条曲线。八条边只画得出四条曲线——因为有些边本来就相等。

• D 的两边落在同一条曲线上（图上那条绿色实线），处处重合。这就是「恒等式」。
• A、C 的两边分属两条曲线，从头到尾岔开，怎么也碰不上。
• B 最值得看：它的两边是两条不同的曲线，却在 $x=2$ 处真的碰了一下。 这一点下面还要专门说。

解法二：取一组数代进去，三个选项一起倒

想法：恒等式经不起一个反例

「恒等式」的意思是对每一组 $x>0$、$y>0$ 都成立。 它的否定因此便宜得离谱：只要举出一组让它不成立的 $x$、$y$，那个选项当场出局。

挑哪一组？挑算得最快的。取 $x=y=1$，则

$$\lg x=\lg y=0 ,$$

四个选项的指数一下子塌成常数。（$1$ 是正实数，满足题设——反例必须先过题设这一关。）

逐个代

$$\text{A: }\ \text{左}=2^{0+0}=1,\qquad \text{右}=2^{0}+2^{0}=2 .$$

$1\neq 2$，A 出局。

$$\text{B: }\ \text{左}=2^{\lg(1+1)}=2^{\lg 2}\approx 1.23,\qquad \text{右}=2^{0}\cdot 2^{0}=1 .$$

$2^{\lg 2}\neq 1$（因为 $\lg 2\neq 0$），B 出局。

$$\text{C: }\ \text{左}=2^{0\times 0}=1,\qquad \text{右}=2^{0}+2^{0}=2 .$$

$1\neq 2$，C 出局。

$$\text{D: }\ \text{左}=2^{\lg(1\times 1)}=2^{0}=1,\qquad \text{右}=2^{0}\cdot 2^{0}=1 .$$

两边相等——D 没被这一组否掉。三个出局，只剩

$$\boxed{\text{选 D}}$$

最后那一行不是证明

$x=y=1$ 时 D 成立，只说明这一组没能否掉它。 要断定 D 恒成立， 要么走解法一正面化简，要么引用「四个选项里恰有一个正确」这个约定。 这不是吹毛求疵——下一节的 B 就是活生生的反面教材。

顺带一提，$x=y=1$ 之所以好用，是因为它算得快（三个指数直接归零）， 不是因为它保证否得掉谁。能否掉几个，得算完才知道；这一组一次否掉三个， 算是运气不错。否不掉就换一组，成本也不高。

三个错误选项各错在哪

• A. $2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}$ —— 左边没问题，右边该是积却写成了和。指数上的加法落到幂上是乘法： $2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$。把 $a^{s+t}$ 写成 $a^{s}+a^{t}$， 正好是把「降级」的方向搞反了。

• C. $2^{\lg x\cdot\lg y}=2^{\lg x}+2^{\lg y}$ —— 两边都不对。左边的指数是两个对数相乘，而没有任何一条性质会产出 $\lg x\cdot\lg y$（性质给的都是和、差、倍数）；右边又犯了与 A 相同的错。

• B. $2^{\lg(x+y)}=2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}$ —— 最险的一个，值得单独算一遍。 它的右边可以化简：

  $$2^{\lg x}\cdot 2^{\lg y}=2^{\lg x+\lg y}=2^{\lg(xy)} .$$

  所以 B 等价于 $2^{\lg(x+y)}=2^{\lg(xy)}$，即

  $$x+y=xy .$$

  这个方程不是恒假的，它有一整族解——比如 $x=y=2$ 时 $x+y=4=xy$， B 在那里货真价实地成立。图上那个红点就是它（取 $y=2$ 的切片上，交点落在 $x=2$）。

  于是有了这道题最该带走的一条教训：

  举一个成立的例子，什么也证明不了。 想否掉一个式子，才需要（也只需要）一个不成立的例子。

  上面选 $x=y=1$ 而不是 $x=y=2$，纯粹是因为前者算得快； 但如果真的手滑取了 $x=y=2$，B 就会通过检验、跟 D 一起留到最后。 验恒等式没有捷径：要么正面化简，要么给反例。

一句话带走

指数与对数是一对互逆的降级器，而它们都只在「乘除」那一侧工作。

$$\text{乘}\ \xrightarrow{\ \lg\ }\ \text{加},\qquad \text{加}\ \xrightarrow{\ 2^{\square}\ }\ \text{乘} .$$

D 就是把这两步接起来的那条链子；另外三个选项各在某一处让「加」和「乘」串了位。 写这类式子时只问一句：这一步是把运算降一级，还是升一级？ 方向对了就不会错。

再带走一条更通用的：判断「恒成立」，只有两条合法路径——正面化简，或给出反例。 代一组数发现成立，不在这两条路里。