4.3.2 对数的运算

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4.3.2 对数的运算

在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？

探究

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

$M = a ^ {m}, N = a ^ {n},$

$a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n},$

$M N = a ^ {m + n}.$

根据对数与指数间的关系可得

$\log_ {a} M = m, \log_ {a} N = n,$

$\log_ {a} (M N) = m + n.$

这样，就得到了对数的一个运算性质：

$\log_ {a} (M N) = \log_ {a} M + \log_ {a} N.$

同样地，同学们可以仿照上述过程，由 $a^m \div a^n = a^{m - n}$ 和 $(a^m)^n = a^{mn}$，自己推出对数运算的其他性质.

于是，我们得到如下的对数运算性质.

如果 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0$ ，那么

(1) $\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N;$

(2) $\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N;$

\log_ {a} M ^ {n} = n \log_ {a} M (n \in \mathbf {R}). \tag {3}

例 3 求下列各式的值:

(1) $\lg \sqrt[5]{100}$ ; (2) $\log_{2}(4^{7} \times 2^{5})$ .

解：（1） $\lg \sqrt[5]{100} = \lg 100^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}\lg 100 = \frac{2}{5}$

(2) \log_2(4^7 \times 2^5) = \log_24^7 + \log_22^5$$= 7\log_24 + 5\log_22$$= 7 \times 2 + 5 \times 1$$= 19.

例4 用 $\ln x, \ln y, \ln z$ 表示 $\ln \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}$.

解： \ln \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}} = \ln (x^2\sqrt{y}) - \ln \sqrt[3]{z}$$= \ln x^{2} + \ln \sqrt{y} -\ln \sqrt[3]{z}$$= 2\ln x + \frac{1}{2}\ln y - \frac{1}{3}\ln z.

数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。

探究

(1) 利用计算工具求 $\ln 2$ ， $\ln 3$ 的近似值；

(2) 根据对数的定义，你能利用 $\ln 2$ ， $\ln 3$ 的值求 $\log_{2}3$ 的值吗？

（3）根据对数的定义，你能用 $\log_{c}a$ ， $\log_{c}b$ 表示 $\log_{a}b (a>0,$ 且 $a\neq1; b>0; c>0$ ，且 $c\neq1)$ 吗？

设 $\log_a b = x$，则 $a^x = b$，于是

$\log_ {c} a ^ {x} = \log_ {c} b.$

根据性质（3）得 $x \log_{c} a = \log_{c} b$ ，即

$\log_ {a} b = \frac {\log_ {c} b}{\log_ {c} a} (a > 0, \text {且} a \neq 1; b > 0; c > 0, \text {且} c \neq 1).$

我们把上式叫做对数换底公式.

在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 $x = \log_{1.11}2$ 的值．由换底公式，可得

$x = \log_ {1. 1 1} 2 = \frac {\lg 2}{\lg 1 . 1 1}.$

利用计算工具，可得

$x = \frac {\lg 2}{\lg 1 . 1 1} \approx 6. 6 4 \approx 7.$

由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍.类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数.

例 5 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量 E(单位：焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为

$\lg E = 4. 8 + 1. 5 M.$

2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？

解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为 $E_{1}$ 和 $E_{2}$

由 $\lg E=4.8+1.5M$ ，可得

$\lg E _ {1} = 4. 8 + 1. 5 \times 9. 0,$

$\lg E _ {2} = 4. 8 + 1. 5 \times 8. 0.$

于是， \lg \frac{E_1}{E_2} = \lg E_1 - \lg E_2$$= (4.8 + 1.5\times 9.0) - (4.8 + 1.5\times 8.0) = 1.5.

利用计算工具可得， $\frac{E_{1}}{E_{2}}=10^{1.5}\approx32.$

想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？

虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.

练习

1. 求下列各式的值： (1) $\log_{3}(27\times9^{2})$ ; (2) $\lg 5 + \lg 2$ ; (3) $\ln 3 + \ln \frac{1}{3}$ ; (4) $\log_{3}5 - \log_{3}15$ .

2. 用 $\lg x, \lg y, \lg z$ 表示下列各式：(1) $\lg (xyz)$; (2) $\lg \frac{xy^2}{z}$; (3) $\lg \frac{xy^3}{\sqrt{z}}$; (4) $\lg \frac{\sqrt{x}}{y^2z}$.

3. 化简下列各式： (1) $\log_{2}3 \times \log_{3}4 \times \log_{4}5 \times \log_{5}2;$

(2) $2(\log_{4}3 + \log_{8}3)(\log_{3}2 + \log_{9}2).$

习题4.3

复习巩固

1. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1) $3^{x}=1$ ; (2) $4^{x}=\frac{1}{6}$ ; (3) $10^{x}=6$ ; (4) $e^{x}=25$ ; (5) $x=\log_{5}27$ ; (6) $x=\log_{7}\frac{1}{3}$ ; (7) $x=\lg 0.3$ ; (8) $x=\ln\sqrt{3}$ .

2. 选择题

(1) 使式子 $\log_{(2x-1)}(2-x)$ 有意义的 x 的取值范围是（）.

(A) x > 2 (B) x < 2 (C) $\frac{1}{2} < x < 2$ (D) $\frac{1}{2} < x < 2$ ，且 $x \neq 1$

(2) 若 $\lg a (a > 0)$ 与 $\lg b (b > 0)$ 互为相反数，则（）.

(A) $a + b = 0$ (B) $a - b = 0$ (C) $ab = 1$ (D) $\frac{a}{b} = 1$

3. 求下列各式的值： (1) $\log_{a}2 + \log_{a}\frac{1}{2}$ ; (2) $\log_{3}18 - \log_{3}2$ ; (3) $\lg \frac{1}{4} - \lg 25$ ; (4) $2\log_{5}25-3\log_{2}64$ ; (5) $\log_{2}(\log_{2}16)$ ; (6) $\log_{2}25\times\log_{3}4\times\log_{5}9$ .

4. 求满足下列条件的 x 的值： (1) $\ln x = \ln a + \ln b;$ (2) $\lg x = 3 \lg n - \lg m;$ (3) $\log_{a}x=\frac{1}{2}\log_{a}b-\log_{a}c;$ (4) $\log_{2}\left[\log_{3}(\log_{4}x)\right]=0.$

综合运用

5. 已知 $\lg 2 = a, \lg 3 = b$，求下列各式的值：(1) $\lg 6$；(2) $\log_3 4$；(3) $\log_2 12$；(4) $\lg \frac{3}{2}$.

6. 求满足下列条件的各式的值： (1) 若 $x \log_{3} 4 = 1$ ，求 $4^{x} + 4^{-x}$ 的值； (2) 若 $f(x)=3^{x}$ ，求 $f(\log_{3}2)$ 的值.

7. 证明： (1) $\log_{a}b \cdot \log_{b}c \cdot \log_{c}a = 1;$

(2) $\log_{am}b^{n} = \frac{n}{m} \log_{a}b.$

8. 某地 GDP 的年平均增长率为 6.5%，按此增长率，多少年后该地 GDP 会翻两番？

拓广探索

9. 我们可以把 $(1+1\%)^{365}$ 看作每天的“进步”率都是 1%，一年后是 $1.01^{365}$ ；而把 $(1-1\%)^{365}$ 看作每天的“落后”率都是 1%，一年后是 $0.99^{365}$ ．利用计算工具计算并回答下列问题：

(1) 一年后 “进步” 的是 “落后” 的多少倍?

(2) 大约经过多少天后 “进步” 的分别是 “落后” 的 10 倍、100 倍、1 000 倍？

10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为. 为了保障交通安全, 根据国家有关规定: $100 \mathrm{~mL}$ 血液中酒精含量达到 $20 \sim 79 \mathrm{mg}$ 的驾驶员即为酒后驾车, $80 \mathrm{mg}$ 及以上认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后, 其血液中的酒精含量上升到了 $1 \mathrm{mg} / \mathrm{mL}$. 如果在停止喝酒以后, 他血液中酒精含量会以每小时 $30 \%$ 的速度减少, 那么他至少经过几个小时才能驾驶?

? 阅读与思考

对数的发明

16、17世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高计算速度和准确度成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔（J. Napier，1550—1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生。在这本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。

如图1，假定两点 $P$，$Q$ 以相同的初速度运动。点 $Q$ 沿直线 $CD$ 作匀速运动，$CQ = x$；点 $P$ 沿线段 $AB$（长度为 $10^{7}$ 单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离（$PB = y$）。令 $P$ 与 $Q$ 同时分别从 $A$，$C$ 出发，那么，定义 $x$ 为 $y$ 的对数。

用现在的数学符号来叙述，纳皮尔的对数中， $x$ 与 $y$ 的对应关系就是

$y = 1 0 ^ {7} \left(\frac {1}{\mathrm{e}}\right) ^ {\frac {x}{1 0 ^ {7}}}.$

其中，e 为自然对数的底。利用对数，纳皮尔制作了 $0^{\circ} \sim 90^{\circ}$ 每隔 $1'$ 的八位三角函数表，但是这种方法不够方便和简捷。

把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯（H. Briggs, 1561—1631）。他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数。由于我们的数系是十进制，因此它在数值计算上具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1～20000及90000～100000的14位常用对数表。

根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表现在都不再重要了，但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，在今天仍然具有生命力。

从对数发明的过程可以发现, 纳皮尔在讨论对数概念时, 并没有使用指数与对数的互逆关系, 主要是当时还没有明确的指数概念, 就连指数符号也是在 20 多年后的 1637 年由法国数学家笛卡儿开始使用. 直到 18 世纪, 瑞士数学家欧拉才发现指数与对数的互逆关系, 并在 1770 年出版的一部著作中, 首先使用 $y = a^{x}$ 来定义 $x = \log_{a} y$. 他指出, “对数源出于指数”. 然而对数的发明先于指数, 这成为数学史上的珍闻.

从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力。建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担。