4.3.2 对数的运算

上一小节只给了对数一个记号，这一小节给它四条运算法则。它们不是新规定，全部是指数运算性质翻译过来的——因为 $a^x = N$ 与 $x = \log_a N$ 说的是同一件事，指数那边成立的每一条， 翻到对数这边都成立。

翻译的结果可以一句话概括，这也是对数在历史上被发明出来的理由：

$\textbf{乘法} \to \textbf{加法}, \qquad \textbf{除法} \to \textbf{减法}, \qquad \textbf{乘方} \to \textbf{乘法}.$

每用一次对数，运算就降一级。纳皮尔在 1614 年靠这一条把天文计算里的大数乘法变成了查表加法。

一、三条运算性质：怎么来的，比怎么背更重要

设 $a>0$ 且 $a \neq 1$，$M>0$，$N>0$，则

$$(1)\ \log_a(MN) = \log_a M + \log_a N; \qquad (2)\ \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N;$$ $$(3)\ \log_a M^{\,n} = n \log_a M \quad (n \in \mathbf{R}).$$

第 (1) 条的推导只有四行，值得自己写一遍（另两条同法）： 设 $M = a^m$、$N = a^n$，即 $m = \log_a M$、$n = \log_a N$。由指数运算性质 $a^m a^n = a^{m+n}$ 得 $MN = a^{m+n}$，再翻回对数式就是 $\log_a(MN) = m+n = \log_a M + \log_a N$。

同样地，$a^m \div a^n = a^{m-n}$ 给出第 (2) 条，$(a^m)^n = a^{mn}$ 给出第 (3) 条。 三条性质与指数的三条性质一一对应，记住这个对应就不必死背。

由第 (3) 条还能顺手得到根式的处理方式：$\sqrt[n]{M} = M^{\frac1n}$，所以

$\log_a \sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}\log_a M.$

三条限制一条都不能少：$a>0$ 且 $a \neq 1$（底数的要求），$M>0$、$N>0$（真数为正）。 后一条最容易出事：$\log_a M^2$ 与 $2\log_a M$ 不总是相等——前者只要 $M \neq 0$ 就有意义， 后者要求 $M>0$。$M<0$ 时正确的写法是 $\log_a M^2 = 2\log_a |M|$。

二、换底公式：把任意底换成会算的底

计算工具只提供 $\lg$ 与 $\ln$，所以要有一条把任意底换过去的公式：

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \qquad (a>0,\ a \neq 1;\ b>0;\ c>0,\ c \neq 1).$

推导也只有三行：设 $\log_a b = x$，则 $a^x = b$；两边取以 $c$ 为底的对数得 $\log_c a^x = \log_c b$，由性质 (3) 得 $x\log_c a = \log_c b$，除过去即得。 （这里 $\log_c a \neq 0$，因为 $a \neq 1$。）

新底 $c$ 可以随便挑，挑的原则是”挑到两边都算得出来”：

• 挑 $c = 10$ 或 $c = \mathrm{e}$：查表或用计算器，例如 $\log_{1.11} 2 = \frac{\lg 2}{\lg 1.11} \approx 6.64$；
• 挑 $c$ 等于题目里出现最多的那个底：例如 $\log_4 3 + \log_8 3$ 里 $4 = 2^2$、$8 = 2^3$， 一律换成以 $2$ 为底最省事。

由换底公式立刻得到三条常用推论（都值得当公式记）：

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}, \qquad \log_{a^m} b^{\,n} = \frac{n}{m}\log_a b\ (m \neq 0), \qquad \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c.$$

第一条是换底时取 $c=b$；第二条是把分子分母各用一次性质 (3)；第三条把中间的 $\log b$ 约掉—— 它常被形象地叫做”链式约分”：一串对数首尾相接时，把它们全换成同一个底， 分子分母就像多米诺一样对消。

三、一套通用流程

遇到对数的计算题，按这个顺序走几乎不会卡：

1. 看底数是否统一。 不统一先换底（换成题里最常见的那个底，或换成 $\lg$）。
2. 把幂和根式的指数拿到前面来（性质 (3)），把 $\sqrt[n]{\ }$ 写成 $\frac1n$ 次方。
3. 把加减合并成乘除（性质 (1)(2) 反着用），或者反过来把乘除拆成加减—— 看哪个方向能凑出 $\log_a a$、$\log_a 1$ 这种算得出来的形状。
4. 收尾用 $\log_a a = 1$、$\log_a 1 = 0$、$a^{\log_a N} = N$。

两个方向都要熟：求值时往合并的方向走（$\lg 5 + \lg 2 = \lg 10 = 1$）， “用 $\lg x$、$\lg y$ 表示”时往拆开的方向走（$\lg\frac{xy^2}{z} = \lg x + 2\lg y - \lg z$）。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 把 $\log_a(M+N)$ 拆成 $\log_a M + \log_a N$。 没有这条公式——能拆的只有乘除。 $\log_a M + \log_a N$ 等于 $\log_a(MN)$，不是 $\log_a(M+N)$。
2. $\log_a M^2 = 2\log_a M$ 用在 $M<0$ 上。 正确写法是 $2\log_a|M|$。
3. 换底公式写反。 记成”新底在下”：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$， 分母是原来的底。核对办法：取 $a=b$，右边应得 $1$。
4. $\lg$ 与 $\ln$ 的底忘了是几。
5. 底数或真数的范围没验。 含参数的题里 $a>0$、$a\neq1$、真数 $>0$ 常常就是答案的一半 （如”使 $\log_{(2x-1)}(2-x)$ 有意义”）。
6. 算 $\log_2 25 \times \log_3 4 \times \log_5 9$ 这类连乘时一个一个硬算。 全换成 $\lg$ 之后能整片约掉，比逐个近似又快又准。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节现在连着两道：

• 2022 年第 7 题（指对数互化求值）：题面给的条件与所求分属不同的底， 做法就是第三节的第 1 步——先把底统一，再用运算性质合并。 这道题把本节的两件事（运算性质 + 换底）各用了一次，是本节内容在高考里最直接的形态。
• 2015 年第 12 题（$a=\log_{4}3$，求 $2^{a}+2^{-a}$）：这道题有两条路， 其中一条正是本节的换底——$a=\log_{4}3=\frac{\log_{2}3}{\log_{2}4}=\frac{1}{2}\log_{2}3$， 于是 $2^{a}=2^{\frac{1}{2}\log_{2}3}=\sqrt{3}$。 它和「把指数式的底降到 $2$」是同一件事的两种做法：一个在指数那一侧统一底， 一个在对数这一侧统一底，换底公式负责的就是后者；
• 2016 年第 12 题（$\log_{a}b+\log_{b}a=\frac{5}{2}$，再配上 $a^{b}=b^{a}$，$a>b>1$）： 换底公式在这里是解方程的钥匙——令 $t=\log_{b}a$，换底把 $\log_{a}b$ 写成 $\frac{1}{t}$， 条件就变成 $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$，解得 $t=2$（$t=\frac{1}{2}$ 被 $a>b>1$ 排除），即 $a=b^{2}$。 见到”两个互为倒数的对数”这个形状，就该想到换底加设元。

顺带一提本节最实用的一个日常结论（课本例 5）：地震释放的能量 $E$ 与里氏震级 $M$ 满足 $\lg E = 4.8 + 1.5M$，所以震级差 $1$ 级，能量之比是 $10^{1.5} \approx 32$ 倍。 “差一级、差三十多倍”这件事，全靠对数把乘方变成乘法才算得清楚。

本节页面覆盖第 131–136 页，课本习题共 13 道：第 133 页「练习」3 道，第 133–134 页「习题 4.3」 10 道（复习巩固 4 道、综合运用 4 道、拓广探索 2 道），逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

「习题 4.3」是给整个 §4.3 配的一组，题面整组印在本节页面上，所以一并在这里做： 其中第 1 题考的是上一小节 §4.3.1 的指对数互化，其余各题考本小节的运算性质与换底公式。

下文反复用到的三条运算性质（$a>0$ 且 $a \neq 1$，$M>0$，$N>0$）与换底公式是：

$$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N, \qquad \log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N, \qquad \log_a M^{\,n} = n\log_a M,$$ $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \qquad (c>0,\ c\neq 1).$$

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 133 页）第 1 题

1. 求下列各式的值：

(1) $\log_{3}(27\times9^{2})$ ; (2) $\lg 5 + \lg 2$ ; (3) $\ln 3 + \ln \frac{1}{3}$ ; (4) $\log_{3}5 - \log_{3}15$ .

求值题一律往合并的方向走，把式子凑成 $\log_a a^k$ 或 $\log_a 1$。

(1) 先把真数写成 $3$ 的幂：$27 = 3^3$，$9^2 = (3^2)^2 = 3^4$，故

$27 \times 9^2 = 3^3 \times 3^4 = 3^7,$

于是

$\log_3(27 \times 9^2) = \log_3 3^7 = 7\log_3 3 = 7.$

(2) 两个都是常用对数（底为 $10$），用性质 (1) 合并：

$\lg 5 + \lg 2 = \lg(5 \times 2) = \lg 10 = 1.$

(3) 用性质 (1) 合并：

$\ln 3 + \ln \frac13 = \ln\left(3 \times \frac13\right) = \ln 1 = 0.$

（也可以用性质 (3)：$\ln\frac13 = \ln 3^{-1} = -\ln 3$，与 $\ln 3$ 相加得 $0$，两条路一致。）

(4) 用性质 (2) 合并：

$\log_3 5 - \log_3 15 = \log_3 \frac{5}{15} = \log_3 \frac13 = \log_3 3^{-1} = -1.$

四小问的共同动作：先合并、再把真数写成底的幂。 逐个求 $\lg 5$、$\lg 2$ 的近似值再相加， 既慢又不准——合并之后是精确值。

练习（第 133 页）第 2 题

2. 用 $\lg x, \lg y, \lg z$ 表示下列各式：(1) $\lg (xyz)$; (2) $\lg \frac{xy^2}{z}$; (3) $\lg \frac{xy^3}{\sqrt{z}}$; (4) $\lg \frac{\sqrt{x}}{y^2z}$.

这一题的方向与上一题相反：往拆开的方向走。要用到的就是三条性质 ——乘变加、除变减、指数提到前面。（题目要求用 $\lg x$、$\lg y$、$\lg z$ 表示， 所以默认 $x>0$、$y>0$、$z>0$，各个对数才都有意义。）

(1) 连用两次性质 (1)：

$\lg(xyz) = \lg x + \lg(yz) = \lg x + \lg y + \lg z.$

(2) 先用性质 (2) 把分母分出来，再用性质 (1) 拆分子，最后用性质 (3) 把指数提前：

$$\lg \frac{xy^2}{z} = \lg(xy^2) - \lg z = \lg x + \lg y^2 - \lg z = \lg x + 2\lg y - \lg z.$$

(3) 同法，注意 $\sqrt z = z^{\frac12}$：

$$\lg \frac{xy^3}{\sqrt z} = \lg x + \lg y^3 - \lg z^{\frac12} = \lg x + 3\lg y - \frac{1}{2}\lg z.$$

(4) 分子是 $\sqrt x = x^{\frac12}$，分母是 $y^2z$：

$$\lg \frac{\sqrt x}{y^2 z} = \lg x^{\frac12} - \lg(y^2z) = \frac12 \lg x - \left(\lg y^2 + \lg z\right) = \frac12 \lg x - 2\lg y - \lg z.$$

第 (4) 问最容易错的一处是括号：分母是两项的积，拆出来两项都要变号。 漏了括号就会写成 $\frac12\lg x - 2\lg y + \lg z$。

练习（第 133 页）第 3 题

3. 化简下列各式：

(1) $\log_{2}3 \times \log_{3}4 \times \log_{4}5 \times \log_{5}2;$

(2) $2(\log_{4}3 + \log_{8}3)(\log_{3}2 + \log_{9}2).$

两小问都是多个不同底的对数连乘，统一做法：全换成同一个底（这里取常用对数 $\lg$），再约分。所有出现的底数 $2,3,4,5,8,9$ 都大于 $0$ 且不等于 $1$，真数也都为正，换底合法。

(1) 逐个换底：

$$\log_2 3 \times \log_3 4 \times \log_4 5 \times \log_5 2 = \frac{\lg 3}{\lg 2} \times \frac{\lg 4}{\lg 3} \times \frac{\lg 5}{\lg 4} \times \frac{\lg 2}{\lg 5}.$$

分子依次是 $\lg 3, \lg 4, \lg 5, \lg 2$，分母依次是 $\lg 2, \lg 3, \lg 4, \lg 5$—— 两串完全一样，且每一个都不为零（因为 $2,3,4,5$ 都不等于 $1$），全部约掉：

$\log_2 3 \times \log_3 4 \times \log_4 5 \times \log_5 2 = 1.$

这是”链式约分”的典型：$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 2$ 首尾的底与真数接成一个圈（$2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 2$），所以结果是 $1$。

(2) 四个对数的底是 $4, 8, 3, 9$，注意 $4 = 2^2$、$8 = 2^3$、$9 = 3^2$， 全换成 $\lg$ 之后 $\lg 2$ 与 $\lg 3$ 会成堆出现。

先算第一个括号：

$$\log_4 3 + \log_8 3 = \frac{\lg 3}{\lg 4} + \frac{\lg 3}{\lg 8} = \frac{\lg 3}{2\lg 2} + \frac{\lg 3}{3\lg 2} = \frac{\lg 3}{\lg 2}\left(\frac12 + \frac13\right) = \frac{5}{6} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 2}.$$

再算第二个括号：

$$\log_3 2 + \log_9 2 = \frac{\lg 2}{\lg 3} + \frac{\lg 2}{\lg 9} = \frac{\lg 2}{\lg 3} + \frac{\lg 2}{2\lg 3} = \frac{\lg 2}{\lg 3}\left(1 + \frac12\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{\lg 2}{\lg 3}.$$

两个括号相乘，$\frac{\lg 3}{\lg 2}$ 与 $\frac{\lg 2}{\lg 3}$ 互为倒数、乘积为 $1$：

$$(\log_4 3 + \log_8 3)(\log_3 2 + \log_9 2) = \frac56 \times \frac32 = \frac{15}{12} = \frac54,$$

最后乘上前面的 $2$：

$2(\log_4 3 + \log_8 3)(\log_3 2 + \log_9 2) = 2 \times \frac54 = \frac52.$

核一遍近似值：$\lg 2 \approx 0.3010$、$\lg 3 \approx 0.4771$， 则 $\log_4 3 \approx 0.7925$、$\log_8 3 \approx 0.5283$，和约 $1.3208$； $\log_3 2 \approx 0.6309$、$\log_9 2 \approx 0.3155$，和约 $0.9464$； 乘积约 $1.2500$，再乘 $2$ 得约 $2.500 = \frac52$ ✓。

习题 4.3 第 1 题

1. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：

(1) $3^{x}=1$ ; (2) $4^{x}=\frac{1}{6}$ ; (3) $10^{x}=6$ ; (4) $e^{x}=25$ ;

(5) $x=\log_{5}27$ ; (6) $x=\log_{7}\frac{1}{3}$ ; (7) $x=\lg 0.3$ ; (8) $x=\ln\sqrt{3}$ .

依据仍是 $a^x = N \iff x = \log_a N$，底数不动，指数与真数换位置。 前四小问是指数式写成对数式，后四小问是对数式写成指数式。

$$(1)\ x = \log_3 1; \qquad (2)\ x = \log_4 \frac16; \qquad (3)\ x = \lg 6; \qquad (4)\ x = \ln 25;$$ $$(5)\ 5^x = 27; \qquad (6)\ 7^x = \frac13; \qquad (7)\ 10^x = 0.3; \qquad (8)\ \mathrm{e}^x = \sqrt3.$$

第 (3) 小问底数是 $10$，写成常用对数记号 $\lg 6$；第 (4) 小问底数是 $\mathrm{e}$， 写成自然对数记号 $\ln 25$。第 (7)(8) 反过来，见到 $\lg$ 就还原成底 $10$、见到 $\ln$ 就还原成底 $\mathrm{e}$。

顺带一句：第 (1) 小问其实可以直接算出来——$\log_3 1 = 0$，所以 $x=0$。 但题目只要求”写成对数式”，写到 $x = \log_3 1$ 就完成了要求。

习题 4.3 第 2 题

2. 选择题

(1) 使式子 $\log_{(2x-1)}(2-x)$ 有意义的 x 的取值范围是（）.

(A) x > 2 (B) x < 2 (C) $\frac{1}{2} < x < 2$ (D) $\frac{1}{2} < x < 2$ ，且 $x \neq 1$

(2) 若 $\lg a (a > 0)$ 与 $\lg b (b > 0)$ 互为相反数，则（）.

(A) $a + b = 0$ (B) $a - b = 0$ (C) $ab = 1$ (D) $\frac{a}{b} = 1$

(1) 选 (D)。 一个对数式 $\log_{\text{底}}(\text{真数})$ 有意义，要同时满足三个条件：

$\text{底} > 0, \qquad \text{底} \neq 1, \qquad \text{真数} > 0.$

逐条列出：

• $2x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac12$；
• $2x - 1 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq 2 \Rightarrow x \neq 1$；
• $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$。

三条取交集：$\frac12 < x < 2$ 且 $x \neq 1$，即 (D)。

三个干扰项各漏了不同的一条，逐个说清楚：

• (A) $x>2$ 违反的是真数条件。 $x>2$ 时 $2x-1>3$，底数的两条（大于 $0$、不等于 $1$）反而都满足； 垮掉的是 $2-x>0$——$x>2$ 时真数为负。它与正确范围 $\frac12<x<2$ 的交集是空的。
• (B) $x<2$ 只用了真数条件，把底数的两条都漏了。
• (C) $\frac12<x<2$ 用上了真数与”底数大于 $0$“两条，漏的正是 $2x-1 \neq 1$（即 $x \neq 1$）。

所以这道选择题真正考的是”底数不能等于 $1$“这个最容易被跳过的限制——(C) 与 (D) 的差别只在这一点。

(2) 选 (C)。 “互为相反数”即两数之和为零：

$\lg a + \lg b = 0.$

由 $a>0$、$b>0$，可用性质 (1) 合并左边：

$\lg(ab) = 0.$

再化成指数式：$10^0 = ab$，即

$ab = 1.$

所以选 (C)。

核一组具体数：取 $a = 100$，则 $\lg a = 2$，要 $\lg b = -2$ 即 $b = 0.01$， 此时 $ab = 100 \times 0.01 = 1$ ✓。 顺带排除其他选项：$a+b = 100.01 \neq 0$（排除 A）、$a - b \neq 0$（排除 B）、 $\frac{a}{b} = 10^4 \neq 1$（排除 D）。

习题 4.3 第 3 题

3. 求下列各式的值：

(1) $\log_{a}2 + \log_{a}\frac{1}{2}$ ; (2) $\log_{3}18 - \log_{3}2$ ; (3) $\lg \frac{1}{4} - \lg 25$ ;

(4) $2\log_{5}25-3\log_{2}64$ ; (5) $\log_{2}(\log_{2}16)$ ; (6) $\log_{2}25\times\log_{3}4\times\log_{5}9$ .

(1) 同底相加，用性质 (1) 合并（这里 $a>0$ 且 $a \neq 1$，由式子有意义可知）：

$\log_a 2 + \log_a \frac12 = \log_a\left(2 \times \frac12\right) = \log_a 1 = 0.$

与 $a$ 具体是几无关——这正是 $\log_a 1 = 0$ 对一切合法底数成立的用处。

(2) 同底相减，用性质 (2)：

$\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2.$

(3) 同底相减：

$\lg \frac14 - \lg 25 = \lg \frac{\frac14}{25} = \lg \frac{1}{100} = \lg 10^{-2} = -2.$

(4) 两项底不同，不能合并，各算各的：

$2\log_5 25 = 2\log_5 5^2 = 2 \times 2 = 4, \qquad 3\log_2 64 = 3\log_2 2^6 = 3 \times 6 = 18,$

所以

$2\log_5 25 - 3\log_2 64 = 4 - 18 = -14.$

(5) 由内往外算：先算括号里的 $\log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$，再算外层

$\log_2(\log_2 16) = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2.$

(6) 三个对数的底与真数各不相同，全换成 $\lg$：

$$\log_2 25 \times \log_3 4 \times \log_5 9 = \frac{\lg 25}{\lg 2} \times \frac{\lg 4}{\lg 3} \times \frac{\lg 9}{\lg 5}.$$

把每个真数写成平方：$25 = 5^2$、$4 = 2^2$、$9 = 3^2$，用性质 (3) 各提出一个 $2$：

$$= \frac{2\lg 5}{\lg 2} \times \frac{2\lg 2}{\lg 3} \times \frac{2\lg 3}{\lg 5} = 8 \times \frac{\lg 5 \cdot \lg 2 \cdot \lg 3}{\lg 2 \cdot \lg 3 \cdot \lg 5} = 8.$$

（$\lg 2$、$\lg 3$、$\lg 5$ 都不为零，可以约。）

核一遍近似值：$\log_2 25 \approx 4.644$、$\log_3 4 \approx 1.262$、$\log_5 9 \approx 1.365$， 乘积约 $8.00$ ✓。

习题 4.3 第 4 题

4. 求满足下列条件的 x 的值：

(1) $\ln x = \ln a + \ln b;$ (2) $\lg x = 3 \lg n - \lg m;$

(3) $\log_{a}x=\frac{1}{2}\log_{a}b-\log_{a}c;$ (4) $\log_{2}\left[\log_{3}(\log_{4}x)\right]=0.$

前三小问的做法一样：把右边合并成一个对数，再用”同底的对数相等则真数相等” （这一步的依据是对数式与指数式一一对应）。第 (4) 问是嵌套，由外往内一层层剥。

(1) 各式有意义要求 $a>0$、$b>0$（于是右边合并后真数 $ab>0$，$x$ 也自动为正）。合并右边：

$\ln x = \ln a + \ln b = \ln(ab),$

同底同值，故

$x = ab.$

(2) 有意义要求 $n>0$、$m>0$。先用性质 (3) 再用性质 (2)：

$\lg x = 3\lg n - \lg m = \lg n^3 - \lg m = \lg \frac{n^3}{m},$

故

$x = \frac{n^3}{m}.$

(3) 有意义要求 $a>0$ 且 $a \neq 1$、$b>0$、$c>0$。同法：

$$\log_a x = \frac12 \log_a b - \log_a c = \log_a b^{\frac12} - \log_a c = \log_a \frac{\sqrt b}{c},$$

故

$x = \frac{\sqrt b}{c}.$

(4) 由外往内剥三层。 由 $\log_2\left[\log_3(\log_4 x)\right] = 0$，化成指数式：

$\log_3(\log_4 x) = 2^0 = 1;$

再化一次：

$\log_4 x = 3^1 = 3;$

再化一次：

$x = 4^3 = 64.$

核一遍（把 $x=64$ 代回去逐层验）：$\log_4 64 = \log_4 4^3 = 3$； $\log_3 3 = 1$；$\log_2 1 = 0$ ✓，与题面相等。 顺带验一下每层的真数都为正：$64>0$、$3>0$、$1>0$，三层都合法。

习题 4.3 第 5 题

5. 已知 $\lg 2 = a, \lg 3 = b$，求下列各式的值：(1) $\lg 6$；(2) $\log_3 4$；(3) $\log_2 12$；(4) $\lg \frac{3}{2}$.

统一做法：把每个式子都化到只剩 $\lg 2$ 与 $\lg 3$。不是常用对数的，先换底成 $\lg$。 还要用到一条：$\lg 10 = 1$，故 $\lg 5 = \lg\frac{10}{2} = 1 - a$（本题虽用不上，值得记）。

(1) $6 = 2 \times 3$，用性质 (1)：

$\lg 6 = \lg 2 + \lg 3 = a + b.$

(2) 底是 $3$，先换成 $\lg$，再把 $4 = 2^2$ 的指数提前：

$\log_3 4 = \frac{\lg 4}{\lg 3} = \frac{2\lg 2}{\lg 3} = \frac{2a}{b}.$

(3) 底是 $2$，换成 $\lg$，再把 $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$ 拆开：

$$\log_2 12 = \frac{\lg 12}{\lg 2} = \frac{\lg(2^2 \times 3)}{\lg 2} = \frac{2\lg 2 + \lg 3}{\lg 2} = \frac{2a + b}{a}.$$

(4) 用性质 (2)：

$\lg \frac32 = \lg 3 - \lg 2 = b - a.$

核一遍近似值（$a \approx 0.3010$、$b \approx 0.4771$）： $\lg 6 \approx 0.7781$ ✓；$\log_3 4 = \frac{0.6021}{0.4771} \approx 1.262$ ✓； $\log_2 12 = \frac{1.0791}{0.3010} \approx 3.585$ ✓（$2^{3.585} \approx 12$）； $\lg 1.5 \approx 0.1761$ ✓。

习题 4.3 第 6 题

6. 求满足下列条件的各式的值：

(1) 若 $x \log_{3} 4 = 1$ ，求 $4^{x} + 4^{-x}$ 的值；

(2) 若 $f(x)=3^{x}$ ，求 $f(\log_{3}2)$ 的值.

两小问都要用那条还原公式 $a^{\log_a N} = N$（$N>0$）——它就是”先取对数再作指数，回到原处”。

(1) 由 $x\log_3 4 = 1$ 且 $\log_3 4 \neq 0$（因为 $4 \neq 1$），得

$x = \frac{1}{\log_3 4} = \log_4 3$

（最后一步用的是换底推论 $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$）。于是

$4^x = 4^{\log_4 3} = 3, \qquad 4^{-x} = \frac{1}{4^x} = \frac13,$

所以

$4^x + 4^{-x} = 3 + \frac13 = \frac{10}{3}.$

核一遍：$\log_3 4 \approx 1.2619$，故 $x \approx 0.7925$，$4^{0.7925} \approx 3.000$ ✓， $4^{-0.7925} \approx 0.3333$ ✓，和约 $3.333 = \frac{10}{3}$ ✓。

(2) 直接代入并用还原公式：

$f(\log_3 2) = 3^{\log_3 2} = 2.$

习题 4.3 第 7 题

7. 证明：

(1) $\log_{a}b \cdot \log_{b}c \cdot \log_{c}a = 1;$

(2) $\log_{am}b^{n} = \frac{n}{m} \log_{a}b.$

（第 (2) 小问的底数按第 134 页扫描图应是 $a^m$，即要证的是 $\log_{a^m} b^{\,n} = \frac{n}{m}\log_a b$；上面的转写把那个上标丢了，下面按扫描图上的式子证。）

两问都用同一件工具：换底公式，把所有对数换成同一个底（取常用对数 $\lg$）。

(1) 各式有意义要求 $a, b, c$ 都大于 $0$ 且都不等于 $1$ （它们既作过底数、也作过真数）。于是 $\lg a$、$\lg b$、$\lg c$ 都不为零。换底：

$$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = \frac{\lg b}{\lg a} \cdot \frac{\lg c}{\lg b} \cdot \frac{\lg a}{\lg c}.$$

分子是 $\lg b \cdot \lg c \cdot \lg a$，分母是 $\lg a \cdot \lg b \cdot \lg c$，两者相同且非零，故商为 $1$：

$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1.$

(2) 要证 $\log_{a^m} b^{\,n} = \frac{n}{m}\log_a b$。 式子有意义要求 $a>0$、$a \neq 1$、$b>0$，且底数 $a^m$ 也要合法—— $a>0$ 保证 $a^m>0$，而 $a^m \neq 1$ 要求 $m \neq 0$（$a \neq 1$ 时 $a^m = 1$ 当且仅当 $m=0$）。 所以前提是 $m \neq 0$，这正是右边 $\frac{n}{m}$ 的分母不为零所需要的。

换底到 $\lg$：

$$\log_{a^m} b^{\,n} = \frac{\lg b^{\,n}}{\lg a^m} \overset{\text{性质 (3)}}{=} \frac{n \lg b}{m \lg a} = \frac{n}{m} \cdot \frac{\lg b}{\lg a} \overset{\text{换底}}{=} \frac{n}{m}\log_a b.$$

（这里 $\lg a \neq 0$ 因为 $a \neq 1$，$m \neq 0$，所以分母 $m\lg a \neq 0$。）证毕。

核一个具体例子：取 $a=2$、$b=8$、$m=2$、$n=3$。 左边 $\log_{4} 512 = \frac{\lg 512}{\lg 4} = \frac{9\lg 2}{2\lg 2} = \frac92$； 右边 $\frac{3}{2}\log_2 8 = \frac32 \times 3 = \frac92$ ✓。

习题 4.3 第 8 题

8. 某地 GDP 的年平均增长率为 6.5%，按此增长率，多少年后该地 GDP 会翻两番？

先读清”翻两番”。 “翻一番”是变成原来的 $2$ 倍，“翻两番”是在此基础上再翻一番， 即变成原来的 $2^2 = 4$ 倍。

建模。 设当前 GDP 为 $P$（$P>0$），年平均增长率 $6.5\%$，则 $x$ 年后为 $P(1+6.5\%)^x = P \cdot 1.065^x$。 要它达到 $4P$，即

$1.065^x = 4.$

解出来。两边取常用对数（$1.065>0$、$4>0$，可取）：

$x \lg 1.065 = \lg 4 = 2\lg 2, \qquad x = \frac{2\lg 2}{\lg 1.065}.$

代入 $\lg 2 \approx 0.3010$、$\lg 1.065 \approx 0.02735$：

$x \approx \frac{0.6021}{0.02735} \approx 22.0.$

所以大约 22 年后该地 GDP 会翻两番。

核一遍这个 $22$ 精确到什么程度：$1.065^{22} \approx 3.996$，还差一点点不到 $4$ 倍； $1.065^{23} \approx 4.256$，已经超过。所以严格地说，到第 23 年才真正达到 $4$ 倍， 但按”多少年后”取整数年、精确到年，答案是约 22 年。 两个数都写出来，读者就知道这个 $22$ 是四舍五入来的，不是恰好。

习题 4.3 第 9 题

9. 我们可以把 $(1+1\%)^{365}$ 看作每天的“进步”率都是 1%，一年后是 $1.01^{365}$ ；而把 $(1-1\%)^{365}$ 看作每天的“落后”率都是 1%，一年后是 $0.99^{365}$ ．利用计算工具计算并回答下列问题：

(1) 一年后 “进步” 的是 “落后” 的多少倍?

(2) 大约经过多少天后 “进步” 的分别是 “落后” 的 10 倍、100 倍、1 000 倍？

(1) 要求的是两者之比。按幂的运算性质，同指数的幂之商等于商的幂：

$$\frac{1.01^{365}}{0.99^{365}} = \left(\frac{1.01}{0.99}\right)^{365}.$$

先算底数：$\frac{1.01}{0.99} = \frac{101}{99} \approx 1.020202$。取常用对数：

$\lg\left(\frac{101}{99}\right) \approx 0.0086859,$

于是

$\lg\left[\left(\frac{101}{99}\right)^{365}\right] = 365 \times 0.0086859 \approx 3.1704,$

所以

$\left(\frac{1.01}{0.99}\right)^{365} = 10^{3.1704} \approx 1.48 \times 10^{3} \approx 1481.$

一年后”进步”的约是”落后”的 $1481$ 倍（约一千五百倍）。

（分开算也一样：$1.01^{365} \approx 37.78$，$0.99^{365} \approx 0.0255$， 商约 $\frac{37.78}{0.0255} \approx 1482$，与上面一致，差别来自四舍五入。）

(2) 设经过 $n$ 天后”进步”的是”落后”的 $k$ 倍，则

$\left(\frac{101}{99}\right)^{n} = k, \qquad n = \frac{\lg k}{\lg \frac{101}{99}} \approx \frac{\lg k}{0.0086859}.$

逐个代入：

• $k = 10$：$n \approx \frac{1}{0.0086859} \approx 115.1$，即约 $115$ 天；
• $k = 100$：$\lg 100 = 2$，$n \approx 230.3$，即约 $230$ 天；
• $k = 1000$：$\lg 1000 = 3$，$n \approx 345.4$，即约 $345$ 天。

三个数成等差是必然的：$k$ 每乘以 $10$，$\lg k$ 就加 $1$，$n$ 就加同一个常数 $\frac{1}{0.0086859} \approx 115.1$——这正是对数把”乘”变成”加”的直接体现， 也是这道题真正想让人看到的东西。

核一遍：$115$ 天时 $\left(\frac{101}{99}\right)^{115} \approx 10^{115 \times 0.0086859} = 10^{0.9989} \approx 9.97$， 确实约为 $10$ 倍 ✓。

习题 4.3 第 10 题

10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为. 为了保障交通安全, 根据国家有关规定: $100 \mathrm{~mL}$ 血液中酒精含量达到 $20 \sim 79 \mathrm{mg}$ 的驾驶员即为酒后驾车, $80 \mathrm{mg}$ 及以上认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后, 其血液中的酒精含量上升到了 $1 \mathrm{mg} / \mathrm{mL}$. 如果在停止喝酒以后, 他血液中酒精含量会以每小时 $30 \%$ 的速度减少, 那么他至少经过几个小时才能驾驶?

第一步：把标准换成同一个单位。 规定里的门槛是”$100\ \mathrm{mL}$ 血液中酒精含量达到 $20\ \mathrm{mg}$”， 换算成每毫升：

$\frac{20\ \mathrm{mg}}{100\ \mathrm{mL}} = 0.2\ \mathrm{mg/mL}.$

所以能合法驾驶的条件是血液酒精含量低于 $0.2\ \mathrm{mg/mL}$。

第二步：写出含量随时间的表达式。 初始含量 $1\ \mathrm{mg/mL}$，每小时减少 $30\%$， 即每过一小时变成原来的 $1 - 30\% = 70\%$。故经过 $t$ 小时后含量为

$y = 1 \times 0.7^{\,t} = 0.7^{\,t} \quad (\mathrm{mg/mL}).$

第三步：解不等式。 要求

$0.7^{\,t} < 0.2.$

两边取常用对数（都是正数，可取）。注意 $\lg 0.7 < 0$，除以负数时不等号要变向：

$t \lg 0.7 < \lg 0.2 \quad \Longrightarrow \quad t > \frac{\lg 0.2}{\lg 0.7}.$

代入 $\lg 0.2 = \lg 2 - 1 \approx -0.6990$、$\lg 0.7 = \lg 7 - 1 \approx -0.1549$：

$t > \frac{-0.6990}{-0.1549} \approx 4.51.$

第四步：取整。 题目问”至少经过几个小时”，按整小时计，$t$ 要取大于 $4.51$ 的最小整数：

$t = 5.$

核一遍：$t=4$ 时 $0.7^4 = 0.2401 > 0.2$，仍属酒后驾车，不能开； $t=5$ 时 $0.7^5 = 0.16807 < 0.2$，可以开 ✓。

所以他至少要经过 $5$ 个小时才能驾驶。

这道题的两处关键动作：一是统一单位（题目故意把标准写成”每 $100\ \mathrm{mL}$”、 把现状写成”每 $\mathrm{mL}$”）；二是取对数时底数小于 $1$，不等号要变向—— 这一步漏了会把答案算成 $t<4.51$，结论正好反过来。