指对数恒等式的判断

题型说明

• 常见问法：「已知 $x$、$y$ 为正实数，则（　）」后面跟四个形如 $b^{\lg x+\lg y}=b^{\lg x}+b^{\lg y}$ 的等式，选出恒成立的那一个。
• 多为选择题前几题。它考的是两条运算性质记没记牢、方向有没有搞反， 没有技巧成分——但四个选项往往只差一个运算符号，看得快就会错。
• 关键动作：盯运算符号，不盯字母。每个选项都是「左边一层指数、右边两块拼起来」， 差别只在
  1. 左边的指数是 $\lg x+\lg y$、$\lg(x+y)$、$\lg(xy)$ 还是 $\lg x\cdot\lg y$；
  2. 右边把两块拼起来的是 $+$ 还是 $\cdot$。

两条路

• 正面化简：从要证的那个式子的一边出发，用运算性质一路化到另一边。 典型链条是两条性质接力——先用 $\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ 把积化成和， 再用 $a^{s+t}=a^{s}a^{t}$ 把和化成积。这条链条本身就是这类题的全部考点。
• 举反例否掉其余：恒等式对定义域内每一组取值都要成立， 所以只要找到一组让它不成立的取值，那个选项当场出局。 选择题里往往一组好数（如全取 $1$）就能一次否掉三个。

常见陷阱

• 只找正例：代一组数发现某个选项成立，就把它选了。 正例什么也证明不了——$b^{\lg(x+y)}=b^{\lg x}\cdot b^{\lg y}$ 在 $x=y=2$ 处货真价实地成立， 可它不恒成立。要么正面化简、要么给反例，没有第三条路。
• 把运算律搬到加法上：$\lg(x+y)$ 当成 $\lg x+\lg y$、$b^{s+t}$ 当成 $b^{s}+b^{t}$。 两条性质拆的都是乘除那一侧，加减那一侧一条也没有。
• 忽略定义域前提：$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$ 要求 $M>0$、$N>0$。 题面那句「$x$、$y$ 为正实数」不是背景交代，是这条性质能用的前提。