4.3 对数

上一章我们从 $y = 1.11^x$ 里已知指数求幂；这一节问反过来的问题：已知底数和幂，求指数。 “经过多少年游客人次变成 $2$ 倍”就是解 $1.11^x = 2$——这个 $x$ 用现有的记号写不出来， 于是给它造一个新记号，叫做对数。

所以这一节没有新的运算，只有一个新记号和它与指数的互化。整节的核心是一行：

$a^x = N \iff x = \log_a N \qquad (a>0,\ a \neq 1).$

左边是指数式，右边是对数式，说的是同一件事。会做与不会做的差别，全在能不能自如地 在这两种写法之间来回换。

一、定义与三个位置

如果 $a^x = N$（$a>0$ 且 $a \neq 1$），那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作

$x = \log_a N,$

其中 $a$ 叫底数，$N$ 叫真数。

三个数在两种写法里换了位置，这是最容易记混的地方，用一张表钉住：

一句话记法：底数不动，指数与幂换个位置。 写对数式时先把底数抄下来（写在 $\log$ 的右下角）， 再把幂写成真数，剩下的那个就是答案。

两个专用记号：

• 以 $10$ 为底的对数叫常用对数，$\log_{10} N$ 记作 $\lg N$；
• 以无理数 $\mathrm{e} = 2.71828\cdots$ 为底的对数叫自然对数，$\log_{\mathrm{e}} N$ 记作 $\ln N$。

这两个记号在后面几乎不再写全，见到 $\lg$ 就想”底是 $10$“，见到 $\ln$ 就想”底是 $\mathrm{e}$”。

二、三条限制，各有各的理由

对数式 $\log_a N$ 里的三处限制不是形式主义，每一条都能一句话解释：

① $a > 0$。 底数为负时指数幂本身就没有一致的意义（见 §4.1：$(-8)^{\frac13}$ 与 $(-8)^{\frac26}$ 会算出两个不同的数）。

② $a \neq 1$。 若 $a=1$，则 $1^x \equiv 1$：真数是 $1$ 时 $x$ 取任何值都行（对数不唯一）， 真数不是 $1$ 时压根无解（对数不存在）。两种情形都让”对数”不成其为一个数。

③ $N > 0$，即负数和 $0$ 没有对数。 因为 $a>0$ 时 $a^x > 0$ 恒成立—— 指数函数的值域是 $(0,+\infty)$，取不到 $0$，更取不到负数。所以 $a^x = N$ 在 $N \leqslant 0$ 时无解。

由定义还能直接读出两个值（把它们当公式记住）：

$\log_a 1 = 0, \qquad \log_a a = 1.$

理由各一行：$a^0 = 1$，所以以 $a$ 为底 $1$ 的对数是 $0$；$a^1 = a$，所以以 $a$ 为底 $a$ 的对数是 $1$。 注意这两条对任何合法的底数都成立，与 $a$ 具体是几无关——$\log_{0.4} 1 = 0$、$\lg 10 = 1$、 $\ln \mathrm{e} = 1$ 都是它们。

再补两条同样直接、后面常用的：

$a^{\log_a N} = N \ (N>0), \qquad \log_a a^{\,b} = b.$

第一条读作”以 $a$ 为底 $N$ 的对数作 $a$ 的指数，还原成 $N$“；第二条读作”$a^b$ 的对数就是 $b$”。 两条都只是把定义正反各念一遍。

三、互化：这一节唯一的动作

动作一：指数式 → 对数式。 $a^x = N$ 写成 $\log_a N = x$。 例如 $5^4 = 625$ 写成 $\log_5 625 = 4$；$2^{-6} = \frac{1}{64}$ 写成 $\log_2 \frac{1}{64} = -6$； $\left(\frac13\right)^m = 5.73$ 写成 $\log_{\frac13} 5.73 = m$。

动作二：对数式 → 指数式。 $\log_a N = x$ 写成 $a^x = N$。 例如 $\log_{\frac12} 16 = -4$ 写成 $\left(\frac12\right)^{-4} = 16$；$\lg 0.01 = -2$ 写成 $10^{-2} = 0.01$； $\ln 10 = 2.303$ 写成 $\mathrm{e}^{2.303} = 10$。

动作三：求值与解方程，一律先化成指数式。 这是本节所有计算题的统一做法，分两小类：

• 未知数在真数位置（如 $\log_{64} x = -\frac23$）：直接写成 $x = 64^{-\frac23}$， 再用 §4.1 的分数指数幂算出来：$64^{-\frac23} = (4^3)^{-\frac23} = 4^{-2} = \frac{1}{16}$。
• 未知数在底数位置（如 $\log_x 8 = 6$）：写成 $x^6 = 8$， 再解这个方程——并且要用底数的限制筛根：$x>0$ 且 $x \neq 1$，故 $x = 8^{\frac16} = (2^3)^{\frac16} = 2^{\frac12} = \sqrt2$（负根被 $x>0$ 排除）。
• 未知数在指数位置（如 $\lg 100 = x$）：写成 $10^x = 100 = 10^2$， 两边化成同底的幂再比指数，得 $x=2$。

第三小类里”化成同底再比指数”用到的是指数函数的单调性（同底的幂相等则指数相等）， 它是后面解一切指对数方程的通用手段。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 真数忘了必须为正。 含参数的题里，”$\log_a(x-1)$ 有意义”给出的条件是 $x>1$， 这一条常常就是答案的一半。
2. 底数忘了 $a>0$ 且 $a \neq 1$。 未知数在底数位置时必须用它筛根。
3. 互化时把底数与真数写反。 记”底数不动”，先抄底数再说。
4. $\lg$ 与 $\ln$ 混。 $\lg$ 底是 $10$，$\ln$ 底是 $\mathrm{e}$。
5. 把 $\log_a(MN)$ 当成 $\log_a M \cdot \log_a N$。 对数的运算性质是下一小节的事， 本节还没有任何”拆开”的公式——这一节能用的只有定义。
6. 算 $\log_{0.4} 1$ 之类时被底数的样子吓住。 $\log_a 1 = 0$ 对一切合法底数成立。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先做 2015 年第 12 题（$a=\log_{4}3$，求 $2^{a}+2^{-a}$）：全节最短的一道， 却把本节的全部内容用了一遍——$a=\log_{4}3$ 不是一个待算的数，它就是 $4^{a}=3$ 这句话。 认出这一点，$a$ 的数值（约 $0.79$）从头到尾都不必碰；认不出，就只能去按计算器， 再也回不到精确值。「对数是指数的另一种写法」这句话，这道题是它最干净的一次考法；
• 再做 2022 年第 7 题（指对数互化求值）：题面给的是指数条件、问的是另一个指数式的值， 或者反过来。做法就是第三节的两个动作来回换。这道题是本节最直接的一次使用；
• 再看 2025 年第 8 题（比较几个指数式、对数式的大小）：常用手段是取对数， 把乘幂的比较变成乘法的比较——用的正是”指数与对数说的是同一件事”这一条；
• 然后是 2023 年第 19 题（含参函数 $f = a(\mathrm{e}^x+a)-x$ 的单调性与不等式） 与 2022 年第 22 题（过一点作三条切线）：这两道里对数出现在解方程与定义域那两步上—— 压轴题里对数很少是主角，但漏掉”真数为正”就会丢掉整段的定义域讨论。

本节课本习题共 3 道，都在第 130 页的「练习」里，逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

三道题练的是同一件事——指数式与对数式的互化，依据只有一条：

$a^x = N \iff x = \log_a N \qquad (a>0,\ a\neq 1,\ N>0).$

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 130 页）第 1 题

1. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：

(1) $2^{3}=8;$

(2) $e^{\sqrt{3}}=m;$

(3) $27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3};$

(4) $\log_{3}9=2;$

(5) $\lg n=2.3;$

(6) $\log_{3}\frac{1}{81}=-4.$

互化的口诀是底数不动，指数与幂（真数）换个位置。前三小问是指数式，写成对数式； 后三小问是对数式，写成指数式。

(1) $2^3 = 8$ 中底数是 $2$、指数是 $3$、幂是 $8$，所以

$\log_2 8 = 3.$

(2) $\mathrm{e}^{\sqrt3} = m$ 中底数是 $\mathrm{e}$、指数是 $\sqrt3$、幂是 $m$，所以

$\log_{\mathrm{e}} m = \sqrt3, \qquad \text{即} \qquad \ln m = \sqrt3.$

（以 $\mathrm{e}$ 为底的对数写成 $\ln$，两种写法都对，习惯上写后者。）

(3) $27^{-\frac13} = \frac13$ 中底数是 $27$、指数是 $-\frac13$、幂是 $\frac13$，所以

$\log_{27} \frac13 = -\frac13.$

(4) $\log_3 9 = 2$ 中底数是 $3$、真数是 $9$、对数是 $2$，所以

$3^2 = 9.$

(5) $\lg n = 2.3$ 就是 $\log_{10} n = 2.3$，底数是 $10$、真数是 $n$、对数是 $2.3$，所以

$10^{2.3} = n.$

(6) $\log_3 \frac{1}{81} = -4$ 中底数是 $3$、真数是 $\frac{1}{81}$、对数是 $-4$，所以

$3^{-4} = \frac{1}{81}.$

核一遍 (6)：$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$，与题面给的真数一致 ✓。 (3) 也核一遍：$27^{-\frac13} = \frac{1}{27^{\frac13}} = \frac{1}{\sqrt[3]{27}} = \frac13$ ✓。

练习（第 130 页）第 2 题

2. 求下列各式的值： (1) $\log_{5}25$ ; (2) $\log_{0.4}1$ ; (3) $\ln \frac{1}{e}$ ; (4) $\lg 0.001$ .

统一做法：设它等于 $x$，化成指数式，两边写成同底的幂，再比指数。

(1) 设 $\log_5 25 = x$，则 $5^x = 25 = 5^2$，故 $x = 2$：

$\log_5 25 = 2.$

(2) 底数 $0.4$ 满足 $0.4>0$ 且 $0.4 \neq 1$，是合法底数。设 $\log_{0.4} 1 = x$， 则 $0.4^x = 1 = 0.4^0$，故 $x = 0$：

$\log_{0.4} 1 = 0.$

（这就是那条通用结论 $\log_a 1 = 0$：底数是几都不影响，因为任何合法底数的零次幂都是 $1$。）

(3) 设 $\ln \frac{1}{\mathrm{e}} = x$，即 $\log_{\mathrm{e}} \frac{1}{\mathrm{e}} = x$， 则 $\mathrm{e}^x = \frac{1}{\mathrm{e}} = \mathrm{e}^{-1}$，故 $x = -1$：

$\ln \frac{1}{\mathrm{e}} = -1.$

(4) 设 $\lg 0.001 = x$，即 $\log_{10} 0.001 = x$，则

$10^x = 0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3},$

故 $x = -3$：

$\lg 0.001 = -3.$

四小问的共同动作：把真数写成”底数的多少次幂”。$25 = 5^2$、$1 = 0.4^0$、 $\frac1{\mathrm{e}} = \mathrm{e}^{-1}$、$0.001 = 10^{-3}$——这一步写出来，答案就是那个指数。

练习（第 130 页）第 3 题

3. 求下列各式中 $x$ 的值：(1) $\log_{\frac{1}{3}}x = -3$ (2) $\log_x 49 = 4$ (3) $\lg 0.00001 = x$ (4) $\ln \sqrt{\mathrm{e}} = -x$.

四小问里未知数分别待在真数、底数、对数、对数的位置上，所以处理方式不同。 统一的第一步都是化成指数式。

(1) 未知数在真数位置。 由 $\log_{\frac13} x = -3$ 得

$x = \left(\frac13\right)^{-3} = 3^3 = 27.$

核一遍：$\left(\frac13\right)^{-3} = \frac{1}{\left(\frac13\right)^{3}} = \frac{1}{\frac{1}{27}} = 27$ ✓， 且 $x = 27 > 0$，满足真数为正的要求。

$x = 27.$

(2) 未知数在底数位置——必须筛根。 由 $\log_x 49 = 4$ 得

$x^4 = 49.$

这个方程在实数范围内有两个根 $x = \pm 49^{\frac14}$，但底数必须满足 $x>0$ 且 $x \neq 1$， 所以负根舍去，只留正根：

$x = 49^{\frac14} = \left(7^2\right)^{\frac14} = 7^{2 \times \frac14} = 7^{\frac12} = \sqrt7.$

再验一次底数的限制：$\sqrt7 > 0$ ✓，$\sqrt7 \neq 1$ ✓。核一遍： $(\sqrt7)^4 = \left((\sqrt7)^2\right)^2 = 7^2 = 49$ ✓。

$x = \sqrt7.$

(3) 未知数在对数位置。 由 $\lg 0.00001 = x$ 得 $10^x = 0.00001$。把右边写成 $10$ 的幂：

$0.00001 = \frac{1}{100\,000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5},$

于是 $10^x = 10^{-5}$，两边同底，比指数得

$x = -5.$

(4) 未知数在对数位置，但前面还带一个负号。 由 $\ln \sqrt{\mathrm{e}} = -x$ 得

$\mathrm{e}^{-x} = \sqrt{\mathrm{e}} = \mathrm{e}^{\frac12},$

两边同底，比指数得 $-x = \frac12$，所以

$x = -\frac12.$

核一遍：$x = -\frac12$ 时右边 $-x = \frac12$；左边 $\ln\sqrt{\mathrm{e}} = \ln \mathrm{e}^{\frac12} = \frac12$， 两边相等 ✓。

这四小问最该带走的是第 (2) 问的动作：未知数落在底数位置时，解出的根必须回到”$a>0$ 且 $a \neq 1$“这道门里筛一遍。 本题里 $x^4 = 49$ 的负根就是被这道门筛掉的， 不筛就会多写一个不存在的答案。