4.3 对数

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4.3 对数

在 4.2.1 的问题 1 中，通过指数幂运算，我们能从 $y = 1.11^{x}$ 中求出经过 x 年后 B 地景区的游客人次为 2001 年的倍数 y。反之，如果要求经过多少年游客人次是 2001 年的 2 倍，3 倍，4 倍，…，那么该如何解决？

4.3.1 对数的概念

上述问题实际上就是从 $2 = 1.11^{x}$，$3 = 1.11^{x}$，$4 = 1.11^{x}$，…中分别求出 $x$，即已知底数和幂的值，求指数。这是本节要学习的对数。

一般地，如果 $a^{x}=N(a>0,\text{且}a\neq1)$ ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm），记作

$x = \log_ {a} N,$

“log”是 logarithm （对数）的缩写.

其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

例如，由于 $2 = 1.11^{x}$，所以 $x$ 就是以1.11为底2的对数，记作 $x = \log_{1.11}2$；再如，由于 $4^{2} = 16$，所以以4为底16的对数是2，记作 $\log_416 = 2$。

通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把 $\log_{10}N$ 记为 $\lg N$ 。另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 $e=2.718\ 28\cdots$ 为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把 $\log_{e}N$ 记为 $\ln N$ 。

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通过查询互联网，进一步了解无理数 e、常用对数和自然对数.

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当 $a > 0$ ， $a\neq 1$ 时， $a^x = N\Leftrightarrow x = \log_aN$

由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

负数和 0 没有对数；

$\log_ {a} 1 = 0, \log_ {a} a = 1.$

请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论.

例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1） $5^{4} = 625$ (2） $2^{-6} = \frac{1}{64}$ (3） $\left(\frac{1}{3}\right)^{m} = 5.73$(4) $\log_{\frac{1}{2}} 16 = -4$; (5) $\lg 0.01 = -2$; (6) $\ln 10 = 2.303$.

解：(1) $\log_{5}625=4;$

(2) $\log_2\frac{1}{64} = -6$;

(3) $\log_{\frac{1}{3}} 5.73 = m$;

(4) $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=16;$

(5) $10^{-2} = 0.01$;

(6) $e^{2.303}=10.$

例 2 求下列各式中 x 的值:

(1) $\log_{64}x = -\frac{2}{3}$; (2) $\log_x 8 = 6$;

(3) $\lg 100 = x$; (4) $-\ln \mathrm{e}^2 = x$.

解：（1）因为 $\log_{64}x = -\frac{2}{3}$，所以

$x = 6 4 ^ {- \frac {2}{3}} = (4 ^ {3}) ^ {- \frac {2}{3}} = 4 ^ {- 2} = \frac {1}{1 6}.$

(2) 因为 $\log_{x}8=6$ ，所以 $x^{6}=8$ 。又 x>0，所以

$x = 8 ^ {\frac {1}{6}} = (2 ^ {3}) ^ {\frac {1}{6}} = 2 ^ {\frac {1}{2}} = \sqrt {2}.$

(3) 因为 $\lg 100 = x$ ，所以

于是

$\begin{array}{c} 1 0 ^ {x} = 1 0 0, 1 0 ^ {x} = 1 0 ^ {2}, \\ x = 2. \end{array}$

(4) 因为 $-\ln e^{2}=x$ ，所以

于是

$\begin{array}{c} \ln \mathrm{e} ^ {2} = - x, \mathrm{e} ^ {2} = \mathrm{e} ^ {- x}, \\ x = - 2. \end{array}$

练习

1. 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1) $2^{3}=8;$ (2) $e^{\sqrt{3}}=m;$ (3) $27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3};$ (4) $\log_{3}9=2;$ (5) $\lg n=2.3;$ (6) $\log_{3}\frac{1}{81}=-4.$

2. 求下列各式的值： (1) $\log_{5}25$ ; (2) $\log_{0.4}1$ ; (3) $\ln \frac{1}{e}$ ; (4) $\lg 0.001$ .

3. 求下列各式中 $x$ 的值：(1) $\log_{\frac{1}{3}}x = -3$ (2) $\log_x 49 = 4$ (3) $\lg 0.00001 = x$ (4) $\ln \sqrt{\mathrm{e}} = -x$.