浙江 2014 · 数学 q19

题面

19.（本题满分14分）

已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=(\sqrt{2})^{b_{n}}\ (n\in N^{*})$ . 若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，且 $a_{1}=2, b_{3}=6+b_{2}$

(I) 求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ;

(II) 设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n}} - \frac{1}{b_{n}} (n \in N^{*})$. 记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$,

(i) 求 $S_{n}$ ;

（ii）求正整数 $k$ ，使得对任意 $n\in N^{*}$ 均有 $S_{k}\geq S_{n}$

解析

：（I） $\because a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n} = (\sqrt{2})^{b_{n}}(n\in N^{*})$ ①，
当 $\mathrm{n}\geq 2$ ， $\mathrm{n}\in \mathrm{N}^*$ 时， $a_1a_2a_3\dots a_{n - 1} = (\sqrt{2})^{b_{n - 1}}$ ②，
由①÷②知：当 $n\geq 2$ 时， $a_{n} = (\sqrt{2})^{b_{n} - b_{n - 1}}$ ，令 $\mathrm{n} = 3$ ，则有 a_3 = (\sqrt{2})^{b_3 - b_2}$$\because \mathrm{b}_3 = 6 + \mathrm{b}_2 ， \therefore \mathrm{a}_3 = 8$$\because \{\mathrm{a_n}\} 为等比数列，且 $\mathrm{a_1 = 2}$ ， $\therefore \{\mathrm{a_n}\}$ 的公比为 $q$ ，则 $q^{2} = \frac{a_{3}}{a_{2}} = 4$
由题意知 $\mathrm{a_{n} > 0}$ ， $\therefore \mathrm{q} > 0$ ， \therefore \mathrm{q} = 2$$\therefore a_{n} = 2^{n} （ $\mathrm{n}\in \mathrm{N}^*$ ）.
又由 $a_1a_2a_3\dots a_n = (\sqrt{2})^{b_n}(n\in N^*)$ ，得： $2^{1}\times 2^{2}\times 2^{3}\times \dots \times 2^{n} = (\sqrt{2})^{b_{n}}$
即 2^{\frac{n(n + 1)}{2}} = (\sqrt{2})^{b_{n}}$$\therefore \mathrm{b_n = n(n + 1)(n\in N^*)}
（II）（i） \because c_{n} = \frac{1}{a_{n}} -\frac{1}{b_{n}} = \frac{1}{2^{n}} -\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{2^{n}} -(\frac{1}{n} -\frac{1}{n + 1})$$\therefore S_{n} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots +c_{n} = \frac{1}{2} -(\frac{1}{1} -\frac{1}{2}) + \frac{1}{2^{2}} -(\frac{1}{2} -\frac{1}{3}) + \dots +\frac{1}{2^{n}} -(\frac{1}{n} -\frac{1}{n + 1})$$= \frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} +\dots +\frac{1}{2^n} -(1 - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{2^n} -1 + \frac{1}{n + 1}$$= \frac{1}{n + 1} -\frac{1}{2^n}
（ii）因为 $c_{1} = 0$ ， $c_{2} > 0$ ， $c_{3} > 0$ ， $c_{4} > 0$
当 $\mathrm{n}\geq 5$ 时， $c_{n} = \frac{1}{n(n + 1)}[\frac{n(n + 1)}{2^{n}} -1]$
而 $\frac{n(n + 1)}{2^n} -\frac{(n + 1)(n + 2)}{2^{n + 1}} = \frac{(n + 1)(n - 2)}{2^{n + 1}} >0$ ，得 $\frac{n(n + 1)}{2^n}\leq \frac{5\bullet(5 + 1)}{2^5} < 1$
所以，当 $\mathrm{n}\geq 5$ 时， $\mathrm{c_n < 0}$

$\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$

$S_{4} \geq S_{n}$