指对数互化求值

题型说明

• 常见问法：「已知 $2^{a}=5$，$\log_8 3=b$，则 $4^{a-3b}=$（　）」；也有反过来问 $a+b$、$\log_2 x$ 的。
• 多为选择题第 6～9 题。它考的是指数式与对数式是同一件事的两种写法，以及运算性质记不记得住——没有技巧成分，全是能不能把式子翻到同一种语言里。
• 关键动作：
  1. 统一底数（$4,8$ 都改写成 $2$ 的幂）；
  2. 把条件翻成与所求同一种语言（求幂就都写成指数式，求对数就都写成对数式）；
  3. 代进去用运算性质化简。

两条常走的路

• 指数路：$\log_8 3=b\Rightarrow 2^{3b}=3$，于是 $4^{a-3b}=\dfrac{(2^{a})^{2}}{(2^{3b})^{2}}$，直接代数。
• 对数路：$a=\log_2 5$、$3b=\log_2 3$，于是 $a-3b=\log_2\dfrac53$，再指数回去。

两条都通；所求是幂就走前者少绕一圈。

常见陷阱

• $4^{x}$ 与 $2^{x}$ 混：$4^{a-3b}=\left(2^{a-3b}\right)^{2}$，少平方一次，答案变成正确值的平方根（$\dfrac{25}{9}$ 变 $\dfrac53$）——这个错法几乎必定被摆进选项。
• $\log_{a^{n}}b$ 的系数记反：$\log_8 3=\dfrac13\log_2 3$，不是 $3\log_2 3$。
• 指数上的减法算成除法之外的东西：$4^{a-3b}=\dfrac{4^{a}}{4^{3b}}$，别写成 $4^{a}-4^{3b}$。