浙江 2016 · 数学 q12

冷启动：两个条件，一个管对数、一个管幂

题给两个数 $a>b>1$，压了两句话：

$$\log_a b+\log_b a=\frac{5}{2},\qquad a^{b}=b^{a}.$$

第一句里两个对数互为倒数（$\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$），所以它其实只含一个未知量； 第二句是个幂等式，看上去和对数不搭界，但两边取一次对数就也变成了 $\log_b a$ 的话。 换句话说，两句话讲的是同一个量，先把这个量算出来，再回到 $a$、$b$ 本身。

$a>b>1$ 这句不是背景板：它一会儿要用来在两个根里挑一个，也用来堵住 「$a^{b}=b^{a}$ 所以 $a=b$」这条走不通的近路。

解法一：换元 $t=\log_b a$，第一式变成 $t+\frac1t=\frac52$

第一步：认出两个对数互为倒数，换成一个字母

换底公式的推论给出

$$\log_a b=\frac{\log_b b}{\log_b a}=\frac{1}{\log_b a}.$$

于是令

$$t=\log_b a,$$

第一个条件就成了

$$\frac{1}{t}+t=\frac{5}{2}.$$

换元的同时把范围也换过去：$b>1$ 说明以 $b$ 为底的对数是增的，而 $a>b$，所以

$$t=\log_b a>\log_b b=1 .$$

这个 $t>1$ 待会儿要用，别丢。

第二步：解出 $t$，用 $t>1$ 取舍

两边乘 $2t$（$t>1>0$，不会丢根也不会变号）：

$$2t^{2}-5t+2=0\ \Longrightarrow\ (2t-1)(t-2)=0\ \Longrightarrow\ t=\frac{1}{2}\ \text{或}\ t=2 .$$

两个根互为倒数——这是 $\dfrac1t+t$ 这种式子的必然：$t$ 与 $\dfrac1t$ 代进去结果一样。 正因为如此，方程本身分不出哪个是 $\log_b a$、哪个是 $\log_a b$，只能靠范围来分。 $t>1$ 把 $\dfrac12$ 挡在门外，所以

$$t=\log_b a=2\ \Longrightarrow\ a=b^{2}.$$

第三步：把 $a=b^2$ 塞进第二个条件

$$a^{b}=b^{a}\ \Longrightarrow\ \left(b^{2}\right)^{b}=b^{a}\ \Longrightarrow\ b^{2b}=b^{a}.$$

（这里用的是幂的乘方：$\left(b^{2}\right)^{b}=b^{2\cdot b}$。）

底数 $b>1$，所以 $y=b^{x}$ 是严格增的，一个值只对应一个指数，因此两边指数必须相等：

$$2b=a .$$

第四步：两个关系一起解，再回头验

现在 $a$ 有两个表达式：$a=b^{2}$ 与 $a=2b$。它们相等：

$$b^{2}=2b\ \Longrightarrow\ b(b-2)=0\ \Longrightarrow\ b=0\ \text{或}\ b=2 .$$

$b>1$，故 $b=2$，进而 $a=b^{2}=4$。

回验（三个条件一条不落）：

• $a>b>1$：$4>2>1$，成立；
• $\log_4 2+\log_2 4=\dfrac12+2=\dfrac52$，成立；
• $4^{2}=16$，$2^{4}=16$，$a^{b}=b^{a}$ 成立。

$$\boxed{a=4,\qquad b=2}$$

解法二：先把 $a^b=b^a$ 化成 $\log_b a=\frac ab$，第一式成齐次二次式

这条路把两个条件的使用顺序倒过来：先拿幂等式榨出一个比例关系，再代进对数那一句， 于是全程只和 $a$、$b$ 本身打交道，不引进新字母。

第一步：幂等式两边取对数，得到 $\log_b a=\dfrac ab$

$a>1$、$b>1$，两边取以 $b$ 为底的对数（$b>1$，取对数是等价变形）：

$$\log_b\left(a^{b}\right)=\log_b\left(b^{a}\right).$$

左边由「幂的对数等于指数乘对数」得 $b\log_b a$，右边是 $a\log_b b=a$，所以

$$b\log_b a=a\ \Longrightarrow\ \log_b a=\frac{a}{b}.$$

顺带也就有

$$\log_a b=\frac{1}{\log_b a}=\frac{b}{a}.$$

这一步已经堵死了「$a=b$」：若 $a=b$，则 $\log_b a=1$，代回第一个条件得 $1+1=2\neq\dfrac52$。所以 $a^{b}=b^{a}$ 绝不意味着两数相等。

第二步：代进第一个条件，得到关于 $a,b$ 的齐次二次方程

$$\log_a b+\log_b a=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{5}{2}.$$

两边乘 $2ab>0$：

$$2b^{2}+2a^{2}=5ab\ \Longrightarrow\ 2a^{2}-5ab+2b^{2}=0 .$$

左边关于 $a$、$b$ 是齐次的（每一项都是二次），所以能像一元二次那样分解：

$$2a^{2}-5ab+2b^{2}=(2a-b)(a-2b)=0 .$$

于是 $b=2a$ 或 $a=2b$。前者给 $b>a$，与 $a>b$ 矛盾，舍去；故

$$a=2b .$$

第三步：把比例送回第一步的结论

第一步已经有 $\log_b a=\dfrac ab$，而现在 $\dfrac ab=2$，所以

$$\log_b a=2\ \Longrightarrow\ a=b^{2}.$$

再与 $a=2b$ 联立：

$$b^{2}=2b\ \Longrightarrow\ b=2\ (\text{已排除 }b=0),\qquad a=2b=4 .$$

回验：$4>2>1$；$\log_4 2+\log_2 4=\dfrac12+2=\dfrac52$；$4^{2}=2^{4}=16$。三条都对。

$$\boxed{a=4,\qquad b=2}$$

两条路的分工

两条路最后都落到同一对关系 $a=b^{2}$ 与 $a=2b$ 上——这不是巧合：题目给的就是两个独立条件， 一个条件定一个关系，谁先谁后不影响交点。