幂互换相等就当成两数相等

坑长什么样

题面给「$a>b>1$，$a^{b}=b^{a}$」，看到左右两边只是把 $a$、$b$ 换了个位置， 心里立刻蹦出「那就是 $a=b$ 呗」，然后发现它和 $a>b$ 冲突，于是判「无解」。

错在把「$a=b$ 是解」当成了「只有 $a=b$ 是解」。 最小的反例就摆在初中：

这里 $a=4$、$b=2$，$a\neq b$，方程照样成立。事实上 $a^{b}=b^{a}$ 在 $a,b>1$ 的正整数里 只有 $\{2,4\}$ 这一对不相等的解，浙江 2016 那道填空考的正是它。

它为什么有非对称解

两边取对数：$b\ln a=a\ln b$，即

于是问题变成「函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 在哪两点取同一个值」。 $f$ 在 $(0,\mathrm e)$ 上递增、在 $(\mathrm e,+\infty)$ 上递减，$x=\mathrm e$ 处取最大值 $\dfrac1{\mathrm e}$。 一个不到最大值的水平线会与图象交于两点，一点在 $\mathrm e$ 左、一点在 $\mathrm e$ 右—— 这两点就是一对 $a\neq b$ 的解。$2<\mathrm e<4$，$(2,4)$ 正是这样一对。

所以 $a^{b}=b^{a}$ 的解集是「$a=b$ 这条直线」再并上一条曲线，后者才是题目要的。

怎么躲

• 先取对数，把幂等式变成 $\log_b a=\dfrac ab$（或 $\dfrac{\ln a}{a}=\dfrac{\ln b}{b}$）。 变形之后它就是一条普通的比例关系，不再有「一眼对称」的诱惑。
• 对称的方程不等于只有对称的解。同类的还有 $x+y=xy$、$\sin x=\sin y$、 $x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}$ 之流：写下 $x=y$ 之前先问一句「还有别的吗」。
• 反过来，题面给了 $a>b$ 恰恰是在提示你非对称解存在。 若真的只有 $a=b$，出题人不会把 $a>b$ 写进条件里。