浙江 2011 · 数学 q12

冷启动：先把框图翻成一句人话

框图的顺序是：

$$k=2\ \longrightarrow\ \boxed{k\to k+1}\ \longrightarrow\ a=4^{k}\ \longrightarrow\ b=k^{4} \ \longrightarrow\ \text{判断 }a>b\ ?$$

判断为「否」就回到自增框再来一圈，为「是」才输出 $k$。三个细节先钉死：

1. 先自增，再算 $a$、$b$。初值 $k=2$ 从来没参与过计算，第一圈算的是 $k=3$。
2. 判断在循环体的末尾，所以每一圈都至少把 $a$、$b$ 算一遍。
3. 退出条件是严格的 $a>b$，相等不算——这一条是本题唯一的坑。

于是整张框图问的就是一句话：

$$\text{从 }k=3\text{ 开始，第一个使 }4^{k}>k^{4}\text{ 的正整数 }k\text{ 是几？}$$

---

解法一：照框图逐圈填表——三圈就到底

选择题里这是最省心的走法：开一张表，一圈一行，写满就走。

填表前先把「谁会被检验」说清楚：初值 $k=2$ 进来后，第一件事是自增，所以判断框看到的 $k$ 依次是 $3,4,5,\dots$——$k=1$、$k=2$ 从来没有进过判断框，它们满不满足 $a>b$ 与输出无关。

退出时 $k=5$，输出 $5$。

第二行是全题的分水岭。 $k=4$ 时两边都是 $256$——4 的 4 次方和 4 的 4 次方， 当然相等。此时 $a>b$ 不成立（严格大于要求真的大），所以必须再走一圈。 把这里读成「$a\geq b$」的人会在这一步停下，答 $4$。

---

解法二：取对数——把 $4^{k}$ 与 $k^{4}$ 的胜负交给 $\frac{\ln x}{x}$

不想一个个试，就把比较做成一个函数问题。判断框只看 $k=3,4,5,\dots$，这些 $k$ 都满足 $k>1$， 所以 $4^{k}>0$、$k^{4}>0$，两边可以取自然对数；$\ln$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增， 取对数是等价变形：

$$4^{k}>k^{4} \iff \ln\left(4^{k}\right)>\ln\left(k^{4}\right) \iff k\ln 4>4\ln k .$$

再把两边同除以 $4k$。因为 $k\geq 3>0$，$4k>0$，除以正数不改变不等号方向，仍是等价的：

$$k\ln 4>4\ln k \iff \frac{\ln 4}{4}>\frac{\ln k}{k} .$$

于是只剩一个函数：$g(x)=\dfrac{\ln x}{x}$（$x>0$）。求导

$$g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}} ,$$

所以 $g$ 在 $(0,\mathrm{e})$ 上递增、在 $(\mathrm{e},+\infty)$ 上递减，最大值在 $x=\mathrm{e}\approx 2.718$ 处。

把 $k=3,4,5$ 逐个和 $g(4)$ 比：

• $k=3$：$3$ 与 $4$ 都 $>\mathrm{e}\approx2.718$，同在递减段上，且 $3<4$，故 $g(3)>g(4)$， 即 $\frac{\ln 4}{4}<\frac{\ln 3}{3}$——恰与所需的 $\frac{\ln 4}{4}>\frac{\ln k}{k}$ 相反， 故 $4^{3}<3^{4}$（数值上 $64<81$），判定为否。
• $k=4$：此时 $g(k)=g(4)$，取到的是等号而非严格大于，即 $4^{4}=4^{4}$，判定仍为否。
• $k=5$：$5>4>\mathrm{e}$，递减段上 $g(5)<g(4)$，即 $\frac{\ln 4}{4}>\frac{\ln 5}{5}$， 故 $4^{5}>5^{4}$（数值上 $1024>625$）成立，退出。

而且由单调性可知：$k\geq 5$ 以后 $g(k)$ 只会更小，$4^{k}>k^{4}$ 一直成立。

「第一个」指的是循环访问到的那串 $k$ 里的第一个：判断框只看 $k=3,4,5,\dots$， 其中 $3$ 否、$4$ 否（相等）、$5$ 是，所以在第 $3$ 圈退出，输出 $5$。 （脱离框图单看正整数，$k=1$ 也满足 $4^{1}>1^{4}$，但框图从来不检验 $k=1$。）

这条路顺带解释了一件怪事：$g(2)=\frac{\ln 2}{2}=\frac{2\ln 2}{4}=\frac{\ln 4}{4}=g(4)$， 两个不同的数取到同一个函数值，对应的正是 $2^{4}=4^{2}$。$y=4^{x}$ 与 $y=x^{4}$ 的两个交点 $x=2$、$x=4$ 就是这么来的，教学图上看得清清楚楚。

---

解法三：看每圈涨几倍——追平之后 $a$ 每圈乘 $4$，$b$ 连 $2.5$ 都不到

这条路不用导数，只用一次放缩，而且抓住了「指数最终一定跑赢幂」的物理直觉。

从第 $2$ 圈的平局 $a=b=256$ 出发，看下一圈各自涨几倍：

$$\frac{4^{k+1}}{4^{k}}=4 , \qquad \frac{(k+1)^{4}}{k^{4}}=\left(1+\frac{1}{k}\right)^{4} .$$

对 $k\geq 4$，

$$\left(1+\frac{1}{k}\right)^{4}\leq\left(1+\frac{1}{4}\right)^{4}=\left(\frac{5}{4}\right)^{4} =\frac{625}{256}<\frac{1024}{256}=4 .$$

所以从 $k=4$ 往后，每走一圈 $a$ 乘 $4$、$b$ 至多乘 $\frac{625}{256}\approx 2.44$。 两边在 $k=4$ 打平，下一圈 $a$ 就必然反超：

$$\frac{a_{5}}{b_{5}}=\frac{a_{4}}{b_{4}}\cdot\frac{4}{(5/4)^{4}}=1\times\frac{1024}{625}>1 .$$

再把这一圈之前的两圈补上：判断框看到的第一个 $k$ 是 $3$（初值 $2$ 先自增）， $4^{3}=64<81=3^{4}$，判定为否；第二个是 $k=4$，$256=256$，因为退出条件是严格的 $a>b$， 判定仍为否。所以循环确实走到了 $k=5$ 才第一次满足 $a>b$，输出 $5$。 （而且这个比值此后每圈还要再乘 $>1.6$，差距只会越拉越大，不必担心后面又被追回去。）

---

三条路怎么选

• 解法一是考场答案：三行表格，半分钟。填空题只要结果，别的都是多余动作。
• 解法二告诉你为什么是 $5$ 而不是别的：$\frac{\ln x}{x}$ 这一个函数同时解释了 「$k=3$ 输」「$k=4$ 平」「$k\geq 5$ 一直赢」三件事，也解释了 $2^{4}=4^{2}$ 这个巧合。 换成 $a=3^{k}$、$b=k^{3}$ 之类的变式，这条路照样能一次答完。
• 解法三是不带导数工具时的替代品：一次比值放缩就锁死了「追平之后不会再被反超」， 论证短、也最贴近「指数终究跑赢幂函数」的直觉。

易错

• 在 $k=4$ 那圈提前退出。$4^{4}=4^{4}$ 是相等，而判断框写的是严格的 $a>b$， 必须再循环一次。这是本题设计出来的唯一陷阱。
• 忘了先自增。若误以为第一圈算的是初值 $k=2$（$a=16$、$b=16$，也是相等）， 整张表会整体错位一行，答案会写成 $4$ （详见易错点「循环次数和计数器读岔一步」）。
• 把 $4^{k}=k^{4}$ 的解只当成 $k=4$。这个方程在正整数里有两个解 $k=2$ 与 $k=4$， 这正是两条曲线有两个交点的原因；只记住「指数底数与幂指数相同才相等」会漏掉 $k=2$ （详见易错点「幂互换相等就当成两数相等」）。
• 以为指数一开始就赢。在 $2<k<4$ 这一段其实是幂函数 $k^{4}$ 在上（$k=3$ 时 $81>64$）， 指数只是最终必胜；「指数增长快」是渐近的说法，不能当成逐点成立的结论。
• 原卷第三圈把 $5^{4}$ 印成了 $54$（上标掉了）。这是印刷错误，正确值是 $625$； 本站的校订层照原样保留，判定用的是算出来的 $625$。